Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Решение: Обозначим P1 как плоскость ABC, P2 как плоскость ABD. Эти две плоскости не совпадают и пересекаются по прямой AB. Пусть l — любая прямая, параллельная CD. Пусть v — вектор направления этой прямой, тогда v ∥ CD. Нужно показать, что l пересекает обе плоскости P1 и P2. 1) Докажем, что v не лежит в P1 и не лежит в P2. - Предположим противное, что v ∈ P1. Тогда прямая через C с направлением v полностью лежала бы в P1 (любая прямая, проходящая через точку плоскости и имеющая направление, лежащие в этой плоскости, целиком находится в плоскости). Но так как v ∥ CD, эта же прямая через C проходит через D (D lies на линии через C в направлении v). Следовательно D ∈ P1, противоречие, потому что D ∉ P1 (D лежит на плоскости P2, а не на P1). - Аналогично, если бы v ∈ P2, то прямая через D по направлению v содержала бы C, значит C ∈ P2, что также противоречит тому, что C ∈ P1, но C ∉ P2. Итак, v не принадлежит ни P1, ни P2. Значит l не параллельна ни одной из плоскостей. 2) Из事实, что l не параллельна P1 и не параллельна P2, следует, что: - каждая прямая, не параллельная плоскости, пересекает её в одной точке. Поэтому прямая l пересекает плоскость P1 в одной точке и пересекает плоскость P2 в одной точке. Вывод: любая прямая, параллельная CD, пересекает плоскости двух данных треугольников ABC и ABD.