Шарик толкнули снизу вверх по наклонному жёлобу. У флажка, установленного на расстоянии 30 см от нижнего края жёлоба, шарик побывал через 1 с и через 3 с после толчка. Чему равен…

Дано

• Шарик толкнули снизу вверх по наклонному желобу. Флажок установлен на расстоянии L = 0,30 м от нижнего края.
• Шарик побывал на флажке через t1 = 1 с и через t2 = 3 с после толчка.
• Ускорение по модулю одинаковое (постоянное) вдоль желоба.

Найти

• пройденный шариком путь к моменту, когда он вернется в начальную точку (нижний край желоба).

Решение

1. Введём координату x вдоль желоба, считая вверх от нижнего края. Пусть скорость в момент толчка равна v0, ускорение along желоба равно a (для движения вверх a отрицательно: a = -|a|).

2. Положение как функция времени при постоянном ускорении: x(t) = v0 t + (1/2) a t^2.

3. Дано условия на прохождение флажка: x(1) = L и x(3) = L.

   Получаем систему:

   • v0 + (1/2) a = L
   • 3 v0 + (9/2) a = L

   Вычитанием: 2 v0 + 4 a = 0, следовательно v0 = -2 a.

   Подставим в первое уравнение: -2 a + (1/2) a = L => -(3/2) a = L => a = - (2/3) L.

   Подставив L = 0,30 м, получаем: a = -0,20 м/с^2 (модуля равен 0,20 м/с^2). v0 = -2 a = 0,40 м/с.

4. Время до максимума (когда скорость обращается в ноль): v(t) = v0 + a t = 0 при t = t_turn = -v0 / a = -0,40 / (-0,20) = 2,0 с.

5. Максимальная позиция (на каком расстоянии шарик достигнет за вершиной траектории): x_max = v0 t_turn + (1/2) a t_turn^2 = 0,40 · 2,0 + 0,5 · (-0,20) · (2,0)^2 = 0,80 - 0,40 = 0,40 м.

6. Время возвращения в начальную точку (где x = 0): 0 = v0 t + (1/2) a t^2 t [ v0 + (1/2) a t ] = 0 => t = 0 или t = -2 v0 / a. => t_return = -2 v0 / a = -2 · 0,40 / (-0,20) = 4,0 с.

7. Пройденный путь за всё время до возвращения в начальную точку: шарик сначала движется вверх до x_max = 0,40 м, затем возвращается обратно до x = 0. Суммарный пройденный путь S = x_max + x_max = 2 x_max = 0,40 м + 0,40 м = 0,80 м.

8. Дополнительно можно привести проверку через формулу S = v0^2 / |a|: v0^2 / |a| = (0,40)^2 / 0,20 = 0,16 / 0,20 = 0,80 м, что совпадает.

Ответ 0,80 м

Кратко вывод

• начальная скорость v0 = 0,40 м/с
• ускорение a = -0,20 м/с^2
• шарик достигает максимума на 0,40 м от нижнего края через 2,0 с
• возвращается в начальную точку через 4,0 с
• пройденный путь до момента возвращения = 0,80 м