Задача: решить треугольник ABC с данными b = 32, c = 45, A = 87°. Используем теоремы синусов и косинусов.
Обозначения: стороны противолежат углам: a = BC, b = AC, c = AB; углы A, B, C противоположны сторонам a, b, c соответственно.
Шаг 1. Найдём сторону a с помощью теоремы косинусов
Для включённого угла A между сторонами b и c выполняется:
a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A.
- cos 87° ≈ 0.05233595624
- b^2 = 32^2 = 1024
- c^2 = 45^2 = 2025
- 2bc cos A = 2·32·45·cos A = 2880 · cos 87° ≈ 2880 · 0.05233595624 ≈ 150.72755297
Тогда:
a^2 ≈ 1024 + 2025 − 150.72755297 ≈ 2898.27244703
a ≈ sqrt(2898.27244703) ≈ 53.8356
Шаг 2. Найдём угол B через теорему синусов
По теореме синусов a / sin A = b / sin B, значит:
sin B = b sin A / a.
- sin A = sin 87° ≈ 0.99862953475
- b sin A = 32 · 0.99862953475 ≈ 31.956145112
- sin B ≈ 31.956145112 / 53.8356 ≈ 0.5936 (примерно)
B ≈ arcsin(0.5936) ≈ 36.4° (единственное допустимое значение, так как A = 87° и B ≥ 0, C ≥ 0)
Шаг 3. Найдём угол C
Можно взять C как:
C = 180° − A − B ≈ 180° − 87° − 36.4° ≈ 56.6°
Проверка (вариант через синусы):
sin C = c sin A / a ≈ 45 · 0.99862953475 / 53.8356 ≈ 0.8348 → C ≈ arcsin(0.8348) ≈ 56.6°, что согласуется с предыдущим.
Шаг 4. Итог решения
- сторона a ≈ 53.84
- стороны: a ≈ 53.84, b = 32, c = 45
- углы: A = 87°, B ≈ 36.4°, C ≈ 56.6°
Проверка обратная: a/sin A ≈ b/sin B ≈ c/sin C ≈ 53.9, что подтверждает корректность решения.
