Дано целое число N натуральное. найдите сумму всех чисел от 1 до N включительно.

Задача: дано натуральное число N. найти сумму всех чисел от 1 до N включительно. Цель: Понять. Решение будет подробным и с объяснениями. Пошаговое решение 1) Обозначим сумму S(N) = 1 + 2 + 3 + ... + N. 2) Применим метод Gauss: сведём пары крайних чисел. - Каждая пара вида (1 + N), (2 + (N-1)), ..., даёт сумму N + 1. - Количество таких пар зависит от того, чётное или нечётное N. 3) Рассмотрим два случая. - Случай 1: N чётное. Пусть N = 2k. - Таких пар будет k: (1+N), (2+(N-1)), ..., (k + (N-k+1)). - Каждая пара равна N+1, значит сумма S(N) = k · (N+1) = (N/2) · (N+1) = N(N+1)/2. - Случай 2: N нечётное. Пусть N = 2k + 1. - Есть k пар, каждая пара даёт N+1 = 2k+2. - Кроме того, остаётся среднее число (k+1), т.е. S(N) = k·(N+1) + (k+1). - Это тоже равно N(N+1)/2 (поскольку (2k+1)(2k+2)/2 = (2k+1)(k+1) = 2k^2 + 3k + 1). - Альтернативно можно записать как S(N) = N(N+1)/2. 4) Обобщение. В любом случае сумма чисел от 1 до N равна S(N) = N(N+1)/2. 5) Быстрая проверка на примере. - N = 10: S = 10·11/2 = 55. Действительно: 1+2+...+10 = 55. 6) Дополнительная заметка. - Это формула для арифметической прогрессии: сумма первых N натуральных чисел. - Временная сложность вычисления S(N) константная O(1). Ответ: сумма от 1 до N включительно равна N(N+1)/2.