дано целое число N натуральное. найдите сумму всех чисел от 1 до N включительно.

Задача: дано натуральное число N. найти сумму всех чисел от 1 до N включительно.

Цель: Понять. Решение будет подробным и с объяснениями.

Пошаговое решение

1. Обозначим сумму S(N) = 1 + 2 + 3 + ... + N.

2. Применим метод Gauss: сведём пары крайних чисел.

   • Каждая пара вида (1 + N), (2 + (N-1)), ..., даёт сумму N + 1.
   • Количество таких пар зависит от того, чётное или нечётное N.

3. Рассмотрим два случая.

• Случай 1: N чётное. Пусть N = 2k.

  • Таких пар будет k: (1+N), (2+(N-1)), ..., (k + (N-k+1)).
  • Каждая пара равна N+1, значит сумма S(N) = k · (N+1) = (N/2) · (N+1) = N(N+1)/2.

• Случай 2: N нечётное. Пусть N = 2k + 1.

  • Есть k пар, каждая пара даёт N+1 = 2k+2.
  • Кроме того, остаётся среднее число (k+1), т.е. S(N) = k·(N+1) + (k+1).
  • Это тоже равно N(N+1)/2 (поскольку (2k+1)(2k+2)/2 = (2k+1)(k+1) = 2k^2 + 3k + 1).
  • Альтернативно можно записать как S(N) = N(N+1)/2.

4. Обобщение. В любом случае сумма чисел от 1 до N равна S(N) = N(N+1)/2.

5. Быстрая проверка на примере.

   • N = 10: S = 10·11/2 = 55. Действительно: 1+2+...+10 = 55.

6. Дополнительная заметка.

   • Это формула для арифметической прогрессии: сумма первых N натуральных чисел.
   • Временная сложность вычисления S(N) константная O(1).

Ответ: сумма от 1 до N включительно равна N(N+1)/2.