log1/3xlog1/3(3x-2)=log1/3(3x-2)

Задача: log_{1/3} x · log_{1/3} (3x − 2) = log_{1/3} (3x − 2)

1. Домен

• Для логарифмов требуется x > 0 и 3x − 2 > 0.
• Значит, x > 2/3.

2. Введение вспомогательной переменной Обозначим A = log_{1/3} (3x − 2). Тогда исходное уравнение становится log_{1/3} x · A = A.

Перепишем как A · (log_{1/3} x − 1) = 0. Отсюда либо A = 0, либо log_{1/3} x = 1.

3. Решения

• Случай 1: A = 0 log_{1/3} (3x − 2) = 0 ⇒ 3x − 2 = 1 ⇒ x = 1.

• Случай 2: log_{1/3} x = 1 x = (1/3)^1 = 1/3. Но при этом x должно удовлетворять условиям домена: x > 2/3. x = 1/3 не подходит.

4. Проверка x = 1 удовлетворяет домену: x > 2/3. Подставим: log_{1/3} 1 = 0, log_{1/3} (3·1 − 2) = log_{1/3} 1 = 0. ЛHS = 0 · 0 = 0, RHS = log_{1/3} (3·1 − 2) = log_{1/3} 1 = 0. Соответствует.

Вывод: единственное решение это x = 1.