b+a/2a + b2/2a(a-b)

Задача: разбор выражения b + a/2a + b^2/2a(a-b). Предположим, что имеется именно выражение b + a/(2a) + b^2/(2a(a−b)).

1. Доменные ограничения

• вторая дробь требует a ≠ 0;
• третья дробь требует a ≠ b (иначе знаменатель 2a(a−b) = 0). Итак, действительное множество значений: a ≠ 0 и a ≠ b.

2. Упрощение отдельных частей

• a/(2a) = 1/2 при a ≠ 0. И выражение становится: b + 1/2 + b^2/(2a(a−b)).

3. Приведение к одному знаменателю Пусть общий знаменатель D = 2a(a−b). Перепишем каждую часть так, чтобы знаменатель был D:

• b = [2ab(a−b)] / D, потому что b = b · D / D = b · 2a(a−b) / D = [2ab(a−b)]/D
• 1/2 = [a(a−b)] / D, потому что 1/2 = [a(a−b)] / [2a(a−b)]
• b^2/(2a(a−b)) уже имеет знаменатель D, то есть [b^2]/D

4. Суммирование числителей Общее числитель N: N = 2ab(a−b) + a(a−b) + b^2 Раскрывая скобки:

• 2ab(a−b) = 2a^2b − 2ab^2
• a(a−b) = a^2 − ab Итого: N = (2a^2b − 2ab^2) + (a^2 − ab) + b^2 Можно оставить в этой форме или фактически переписать как: N = a^2 − ab + 2a^2b − 2ab^2 + b^2

5. Итоговая форма Выражение в виде дроби с общим знаменателем: [b + a/(2a) + b^2/(2a(a−b))] = [2ab(a−b) + a(a−b) + b^2] / [2a(a−b)] или, если удобнее для чтения: b + 1/2 + b^2/(2a(a−b))

6. Комментарий по упрощению

• числитель можно оставить как сумму в вышеуказанном виде или раскрыть скобки, как в пункте 4.
• дальнейшее упрощение до более «чистой» формы может не дать значимого преимущества, но можно оставить итог в одной дроби: [2ab(a−b) + a(a−b) + b^2] / [2a(a−b)].

Итого:

• При а ≠ 0 и а ≠ b выражение равно либо b + 1/2 + b^2/(2a(a−b)), либо эквивалентно [2ab(a−b) + a(a−b) + b^2] / [2a(a−b)].
• Не забывайте про доменные ограничения: a ≠ 0 и a ≠ b.