" Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может…
" Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень, увеличить количество камней в первой куче в два раза или увеличить количество камней во второй куче в три раза. Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 27). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 348. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 348 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 16 камней, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 332. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, т.е не гарантирующие выигрыш независимо от игры противника. Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия: — у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети; — у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом."
Классная задача по игре — давай разберёмся вместе, но без спойлеров: дам подсказку, чтобы ты сам мог выйти к ответу.
Подсказка по шагам
- Шаг 1. Зафиксируем S и посмотрим, какие позиции может получить Петя после своей первой ошибки: из начального (16, S) Петя может сделать четыре хода, и мы получаем четыре возможности:
- (17, S) — Петя добавил 1 к первой куче
- (32, S) — Петя умножил первую кучку на 2
- (16, S+1) — Петя добавил 1 ко второй куче
- (16, 3S) — Петя умножил вторую кучку на 3
- Шаг 2. Когда Ваня может выиграть своим ходом сразу (за один ход после позиции Пети)? Проверяем по формуле: из позиции (a, b) можно ли сделать так, чтобы сумма стала хотя бы 348? На практике доминирует тройное увеличение второй кучки:
- условие для мгновенной победы после любой из этих четырех позиций часто даёт пороговые значения S в зависимости от того, какая именно пара (a, b) образовалась.
- например для (32, S): нужна 32 + 3S ≥ 348 → S ≥ 106.
- для (16, 3S): нужна 16 + 3*(3S) ≥ 348 → 9S ≥ 332 → S ≥ 37.
- для (17, S): нужна 17 + 3S ≥ 348 → S ≥ 111.
- для (16, S+1): нужна 16 + 3*(S+1) ≥ 348 → 3S ≥ 329 → S ≥ 110. Эти пороги покажут, какие ветви можно «сразу закрыть» на первом же ходу Вани.
- Шаг 3. Чтобы Ваня мог победить за два хода независимо от Хода Пети, ветви, из которых мгновенной победы нет, должны позволять ему привести к одной и той же «пред-выигрышной» позиции за один ход. В примере это такая общая цель: после своего первого хода привести к позиции (17, 110), из которой любой ход Пети ведёт к гарантированной победе на следующем ходе Вани тройным вторым колодцем.
Из этого следует, что ветви (17, S) и (16, S+1) должны быть приведены к (17, 110) в один ход. Это возможно только если S = 109, чтобы:
- из (17, 109) сделать (17, 110) можно добавлением 1 ко второму
- из (16, 110) сделать (17, 110) можно добавлением 1 к первому Значит минимальное S, при котором такая стратегия существует, примерно 109.
- Шаг 4. Проверим S = 109 на четыре ветви:
- (17, 109) — Ваня переводит в (17, 110), далее независимо от хода Пети он выигрывает на следующем ходу тройством второй кучки.
- (32, 109) — Ваня может выиграть сразу тройством второй: 32 + 3*109 = 350 ≥ 348.
- (16, 110) — аналогично: можно привести к нужной конфигурации и выиграть на следующем ходу.
- (16, 327) — тройство второй сразу даёт большой выигрыш: 16 + 3*327 много больше 348.
- Шаг 5. Убедись, что для любого S меньше 109 не выполняются условия одновременной быстрейшей победы на первый ход во всех ветвях или невозможности перейти к единой предвыигрышной позиции за один ход во всех нерядовых ветвях. Это и делает 109 минимальным.
Если хочешь, могу прогнать пошагово конкретно для S = 109 и проверить каждую ветку и ходовую стратегию Вани на первом и втором ходах.
Хочешь продолжить и проверить по шагам для S = 109 или разобрать, почему для меньших S такая универсальная стратегия не получается?
Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.
