Задача по физике (уровень 10-й класс). Цель: понять решение.
Дано:
- Высота горки h = 12 м
- Угол наклона θ = 45°
- Начальная скорость v0 = 0
- Верхняя половина горки: трение пренебрежимо мало
- Нижняя половина: коэффициент трения μ = 0,1
Найти скорость у основания горки.
- Найдём длину горки и длину нижней половины
- Длина горки L равна L = h / sin θ.
sin 45° = √2/2 ≈ 0.7071, значит L ≈ 12 / 0.7071 ≈ 16.97 м.
- Нижняя половина по длине s2 = L/2 ≈ 8.485 м.
- Верхняя половина по длине s1 = L/2 ≈ 8.485 м (трение пренебрежимо).
- Энергетический подход
Уровень трения на верхней части пренебрегаем, значит потенциальная энергия превращается в кинетическую, пока тело не достигнет начала нижней половины. Затем на нижней половине действует противодействующее трение.
Запишем закон сохранения энергии для всего пути:
m g h = (1/2) m v^2 + W_friction_lower,
где W_friction_lower — работа трения на нижней половине.
Работа трения на нижней половине: W_friction_lower = μ N s2, при движении по наклонной N = m g cos θ, значит
W_friction_lower = μ m g cos θ s2.
Следовательно:
m g h = (1/2) m v^2 + μ m g cos θ s2.
Упростим, разделив на m:
g h = (1/2) v^2 + μ g cos θ s2.
- Подставим числа
- g ≈ 9.8 м/с²
- h = 12 м
- cos θ = cos 45° ≈ 0.7071
- s2 ≈ 8.485 м
- μ = 0.1
Вычисления:
g h = 9.8 × 12 = 117.6
μ g cos θ s2 = 0.1 × 9.8 × 0.7071 × 8.485 ≈ 0.1 × 9.8 × 6.0 ≈ 5.88
Тогда:
(1/2) v^2 = g h − μ g cos θ s2 ≈ 117.6 − 5.88 ≈ 111.72
v^2 ≈ 223.44
v ≈ √223.44 ≈ 14.95 м/с
Ответ: скорость санок у основания горки примерно 15 м/с.
Замечания:
- Этот результат не зависит от массы тела.
- Можно проверить альтернативно: на середине (верхняя часть, без трения) скорость достигает v1 = √(2 g (h/2)) ≈ √(2 × 9.8 × 6) ≈ 10.85 м/с, затем нижняя часть с трением снижает энергию на W_friction ≈ 5.88 м·кг·м/с², что приводит к той же скорости в итоге.
