С горки высотой 12 м с углом наклона = 45° начинают скатываться санки с нуле вой начальной скоростью. Найти скорость о санок у основания горки, если на верхней половине горки…

Задача по физике (уровень 10-й класс). Цель: понять решение.

Дано:

• Высота горки h = 12 м
• Угол наклона θ = 45°
• Начальная скорость v0 = 0
• Верхняя половина горки: трение пренебрежимо мало
• Нижняя половина: коэффициент трения μ = 0,1

Найти скорость у основания горки.

1. Найдём длину горки и длину нижней половины

• Длина горки L равна L = h / sin θ. sin 45° = √2/2 ≈ 0.7071, значит L ≈ 12 / 0.7071 ≈ 16.97 м.
• Нижняя половина по длине s2 = L/2 ≈ 8.485 м.
• Верхняя половина по длине s1 = L/2 ≈ 8.485 м (трение пренебрежимо).

2. Энергетический подход Уровень трения на верхней части пренебрегаем, значит потенциальная энергия превращается в кинетическую, пока тело не достигнет начала нижней половины. Затем на нижней половине действует противодействующее трение.

Запишем закон сохранения энергии для всего пути: m g h = (1/2) m v^2 + W_friction_lower,

где W_friction_lower — работа трения на нижней половине.

Работа трения на нижней половине: W_friction_lower = μ N s2, при движении по наклонной N = m g cos θ, значит W_friction_lower = μ m g cos θ s2.

Следовательно: m g h = (1/2) m v^2 + μ m g cos θ s2.

Упростим, разделив на m: g h = (1/2) v^2 + μ g cos θ s2.

3. Подставим числа

• g ≈ 9.8 м/с²
• h = 12 м
• cos θ = cos 45° ≈ 0.7071
• s2 ≈ 8.485 м
• μ = 0.1

Вычисления: g h = 9.8 × 12 = 117.6 μ g cos θ s2 = 0.1 × 9.8 × 0.7071 × 8.485 ≈ 0.1 × 9.8 × 6.0 ≈ 5.88

Тогда: (1/2) v^2 = g h − μ g cos θ s2 ≈ 117.6 − 5.88 ≈ 111.72 v^2 ≈ 223.44 v ≈ √223.44 ≈ 14.95 м/с

Ответ: скорость санок у основания горки примерно 15 м/с.

Замечания:

• Этот результат не зависит от массы тела.
• Можно проверить альтернативно: на середине (верхняя часть, без трения) скорость достигает v1 = √(2 g (h/2)) ≈ √(2 × 9.8 × 6) ≈ 10.85 м/с, затем нижняя часть с трением снижает энергию на W_friction ≈ 5.88 м·кг·м/с², что приводит к той же скорости в итоге.