решить квадратичкую функцию паррабола y=x2+2x-15

Задача: решить квадратичную функцию-параболу y = x^2 + 2x - 15.

Пошаговое решение и пояснения

1. Определим параметры квадратичной функции

• a = 1, b = 2, c = -15.
• Поскольку a > 0, парабола открывается вверх.

2. Найдём точки пересечения с осью x (корни), то есть решим уравнение y = 0: x^2 + 2x - 15 = 0

• Найдём дискриминант: Δ = b^2 - 4ac = 4 - 4·1·(-15) = 4 + 60 = 64.
• Корни по формуле: x = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a) = (-2 ± 8) / 2.
  • x1 = (-2 + 8)/2 = 6/2 = 3
  • x2 = (-2 - 8)/2 = -10/2 = -5

Значит, парабола пересекает ось x в точках (-5, 0) и (3, 0).

3. Факторизация Можно записать y как произведение линейных множителей: y = (x + 5)(x - 3) Проверяем: (x + 5)(x - 3) = x^2 + 2x - 15 — верно.

4. Пересечение с осью y Когда x = 0, y = -15. Значит, точка пересечения с осью y: (0, -15).

5. Точка вершины и ось симметрии

• X-координата вершины: x_v = -b/(2a) = -2/(2·1) = -1.
• Значение функции в вершине: y_v = y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16.
• Следовательно, вершина параболы: (-1, -16). Ось симметрии: x = -1.

6. Каноническая форма (через «сведение к квадрату») y = x^2 + 2x - 15 = (x + 1)^2 - 16. Это получается из x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1, затем -1 и -15 дают -16. Каноническая форма показывает ту же вершину: вершина в (-1, -16), узел уходит в это выражение.

7. Что это значит для графика

• Парабола открывается вверх, минимальное значение y достигается в вершине: y_min = -16 при x = -1.
• Корни (-5, 0) и (3, 0) — точки пересечения с осью x.
• Пересечение с осью y в (0, -15).

Краткое резюме

• Корни: x = -5 и x = 3.
• Вершина: (-1, -16).
• Ось симметрии: x = -1.
• Каноническая форма: y = (x + 1)^2 - 16.
• Функция разложима на множители: y = (x + 5)(x - 3).