M=0,4 a=0,8м/с2 k=250H/м t=5с Vо=0м/с ∆x-? V-?

Ниже решение с шагами. Дано: - масса m = 0,4 кг - ускорение внешнего воздействия a = 0,8 м/с² - жесткость пружины k = 250 Н/м - начальная скорость V0 = 0 м/с - время t = 5 с - требуется ∆x и V 1) Запишем уравнение движения для массы,attached к пружине, под действием постоянного внешнего усилия F_ext = m a: m x'' + k x = m a x'' + (k/m) x = a Обозначим ω = √(k/m) и x_p = m a / k (устойчивое смещение под действием постоянной вынуждающей силы). 2) Вычислим параметры: - ω = √(k/m) = √(250 / 0,4) = √(625) = 25 рад/с - x_p = m a / k = (0,4 · 0,8) / 250 = 0,32 / 250 = 0,00128 м 3) Общее решение при начальных условиях x(0) = 0, v(0) = V0 = 0: Решение вида x(t) = x_p + C1 cos(ωt) + C2 sin(ωt). Из условий x(0) = 0 → x_p + C1 = 0 → C1 = -x_p. Из условий v(0) = 0 → x'(t) = -C1 ω sin(ωt) + C2 ω cos(ωt); при t=0 даёт v(0) = C2 ω = 0 → C2 = 0. Получаем: x(t) = x_p [1 − cos(ω t)] v(t) = x'(t) = x_p ω sin(ω t) 4) Подстановка чисел и вычисления на t = 5 с: - ω t = 25 · 5 = 125 рад - cos(125) и sin(125) удобно привести по модулю 2π: 125 rad ≈ 2π · 19 + 5,718 rad → cos(125) ≈ cos(5,718) ≈ 0,845, sin(125) ≈ sin(5,718) ≈ -0,534 - ∆x = x(t) = x_p [1 − cos(ωt)] ≈ 0,00128 · (1 − 0,845) ≈ 0,00128 · 0,155 ≈ 1,99 · 10^-4 м - V = v(t) = x_p ω sin(ωt) ≈ 0,00128 · 25 · (−0,534) ≈ 0,032 · (−0,534) ≈ −1,71 · 10^-2 м/с 5) Ответ: - ∆x ≈ 2,0 × 10^-4 м (≈ 0,20 мм) - V ≈ −1,7 × 10^-2 м/с Краткое пояснение: - Уравнение m x'' + k x = m a описывает вынужденно-простейшее колебание вокруг равновесного смещения x_p = m a / k под постоянной силой m a. - При начальных условияx(0) = 0 и v(0) = 0 амплитуда колебаний равна x_p, и движение выражается как x(t) = x_p [1 − cos(ωt)], v(t) = x_p ω sin(ωt).