точки А и В лежат в плоскости а, точка С не лежит в этой плоскости. Докажите,что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельные плоскости а

Задача: A и B лежат в плоскости a, C не лежит в этой плоскости. M — середина AC, N — середина BC. Доказать, что прямая MN параллельна плоскости a.

Решение 1. Геометрическое (через середины треугольника ABC)

• Рассмотрим треугольник ABC. По условию M — середина AC, N — середина BC.
• Отрезок MN, соединяющий середины двух сторон треугольника (AC и BC), есть середина отрезка в треугольнике, следовательно MN ∥ AB (теорема о середине треугольника).
• А и B лежат в плоскости a, значит AB — линяя, принадлежащая плоскости a (AB ⊆ a).
• Если прямая MN параллельна AB, то MN параллельна плоскости a (любая прямая, параллельная какой-либо линии в плоскости, параллельна самой плоскости).
• Следовательно, прямая MN параллельна плоскости a.

Решение 2. Координатное (для наглядности)

• Пусть плоскость a задана как z = 0. Тогда A = (x_A, y_A, 0), B = (x_B, y_B, 0), C = (x_C, y_C, z_C) с z_C ≠ 0.
• M — середина AC: M = ( (x_A + x_C)/2, (y_A + y_C)/2, z_C/2 ).
• N — середина BC: N = ( (x_B + x_C)/2, (y_B + y_C)/2, z_C/2 ).
• Вектор MN = N − M = ( (x_B − x_A)/2, (y_B − y_A)/2, 0 ).
• У вектора MN z-компонента равна 0. Значит MN параллелен плоскости z = 0, то есть параллелен плоскости a.
• Следовательно, прямая MN параллельна плоскости a.

Завершение: обе цепи рассуждений подтверждают, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости a.