p³-p²=p-1

Задача: p³ - p² = p - 1

Цель: понять решение и проверить его объяснение по шагам.

Решение:

1. Перенесем все в одну часть, чтобы получить нуль слева: p³ - p² - p + 1 = 0

2. Разложим по группам: p²(p - 1) - 1(p - 1) = (p² - 1)(p - 1)

3. Разложим разность квадратов: (p² - 1) = (p - 1)(p + 1) Итого: (p - 1)(p - 1)(p + 1) = (p - 1)²(p + 1) = 0

4. Найдем корни:

   • p - 1 = 0 → p = 1
   • p + 1 = 0 → p = -1

5. Заметим мультипликативность корня p = 1: p = 1 является корнем с кратностью 2 (двойной корень), p = -1 — обычный корень.

6. Проверка в исходном уравнении:

   • Для p = 1: левая часть = 1³ - 1² = 1 - 1 = 0, правая часть = 1 - 1 = 0 — верно.
   • Для p = -1: лев. = (-1)³ - (-1)² = -1 - 1 = -2, прав. = (-1) - 1 = -2 — верно.

Итог:

• Действительных корней два: p = -1 и p = 1.
• Корень p = 1 имеет кратность 2, то есть встречается дважды как корень многочлена.
• Ответ: p = -1 или p = 1 (p = 1 — кратный корень).