Квадратная функция

Задача: разбираем квадратную функцию y = -2(x + 1)^2 + 5.

Пошаговый разбор

1. Запись в стандартной форме

• Раскроем скобки: y = -2[(x + 1)^2] + 5 = -2(x^2 + 2x + 1) + 5
• Распишем: y = -2x^2 - 4x - 2 + 5 = -2x^2 - 4x + 3
• Это стандартная форма y = ax^2 + bx + c с a = -2, b = -4, c = 3.

2. Вершины и характеристика параболы

• Форма в виде y = a(x - h)^2 + k (вершинная форма). Здесь уже дано, что a = -2, h = -1, k = 5.
• Следовательно, вершина параболы: V = (-1, 5).
• Ось симметрии: x = -1.
• Направление ветвей: раскрывается вниз (потому что a < 0).
• Наличие максимума: максимум равен 5 (значение в вершине).
• Фактор сжатия/растяжения: по модулю |a| = 2, квадратная волна сжатая по вертикали по сравнению с y = x^2.

3. Пересечения с осями

• y-перехват (y-координата при x = 0): y = -2(0 + 1)^2 + 5 = -2(1) + 5 = 3. Следовательно, точка пересечения с осью y: (0, 3).
• x-пересечения (решаем y = 0): -2(x + 1)^2 + 5 = 0
  • (x + 1)^2 = 5/2
  • x + 1 = ±√(5/2) = ±√10/2
  • x = -1 ± √10/2
  • Приближённо: √10 ≈ 3.1623, √10/2 ≈ 1.5811 x1 ≈ -1 + 1.5811 ≈ 0.5811 x2 ≈ -1 - 1.5811 ≈ -2.5811
  • Значит, x-пересечения в точках примерно (-2.581, 0) и (0.581, 0).

4. Свойства области определения и диапазона

• Область определения: все вещественные числа ((-∞, ∞)).
• Диапазон: y ≤ 5, то есть (-∞, 5], поскольку парабола открыта вниз.

5. Краткое резюме графика

• Вершина: (-1, 5)
• Ось симметрии: x = -1
• Точки пересечения с осью y: (0, 3)
• Точки пересечения с осью x: примерно (-2.581, 0) и (0.581, 0)
• Парабола направлена вниз, с вертикальным сжатием в коэффициенте 2.

Если нужно, могу нарисовать график или разобрать аналогичные примеры с другими значениями a, h, k.