Известно, что некоторое число при делении на 3 даëт остаток 2, при делении на 4 даëт остаток 3, при делении на 6 остаток 5. Найдите самое маленькое число с такими свойствами

Задача: найти наименьшее число n такое, что

• n ≡ 2 (mod 3)
• n ≡ 3 (mod 4)
• n ≡ 5 (mod 6)

Шаг 1. Упростим систему Из условия n ≡ 5 (mod 6 следует, что n ≡ 5 mod 3 = 2, т.е. n ≡ 2 (mod 3) автоматически выполняется). Значит достаточно решить две конгруэнтности:

• n ≡ 3 (mod 4)
• n ≡ 5 (mod 6)

Шаг 2. Решаем совместно mod 4 и mod 6 Пусть n = 6k + 5 (это удовлетворяет n ≡ 5 (mod 6)). Требуется, чтобы при этом выполнялось n ≡ 3 (mod 4): (6k + 5) mod 4 ≡ 3 6k mod 4 ≡ 2 → 2k mod 4 ≡ 2 → k чётность: k должен быть нечетным.

Зададим k = 2t + 1. Тогда n = 6(2t + 1) + 5 = 12t + 11.

Шаг 3. Найдём наименьшее положительное решение При t = 0 получаем n = 11.

Проверка:

• 11 mod 3 = 2
• 11 mod 4 = 3
• 11 mod 6 = 5

Все условия выполняются. Значит самое маленькое число: 11.