Отрезок AB пересекает прямую,отрезки AC и BD не пересекают её. На отрезках AC и BD отметили любые точки M и N. Докажите, что отрезок MN пересечет эту прямую

Обозначим через l данную прямую, а через H1 и H2 — две открытые полуплоскости, разделяемые l.

• Так как отрезок AB пересекает прямую l, точки A и B лежат по разные стороны l. Пусть A ∈ H1, тогда B ∈ H2.
• Отрезок AC не пересекает l, значит вся его часть лежит в той же полуплоскости, что и A. Следовательно M ∈ H1.
• Аналогично, BD не пересекает l, значит D лежит в той же полуплоскости, что и B, и любой N на BD лежит в H2. Следовательно N ∈ H2.

Итак, M и N лежат в противоположных полуплоскостях относительно l. Любой отрезок, соединяющий точки, лежащие в разных полуплоскостях, обязательно пересекает границу этих полуплоскостей, то есть пересекает прямую l. Поэтому MN пересечёт прямую l.

Замечание: если M или N совпадает с концами A, B, C или D — это тоже не нарушает утверждения, поскольку соответствующее положение всё равно поместит M в H1, N в H2. Альтернативно можно отметить непрерывность функции расстояния до l вдоль MN и применить промежуточный принцип.