2. Найдите числа х, у, k, если: х*вектор а= вектор б; y* вектор а =вектор с; k*вектор с= вектор а

Заданы: x·a = b, y·a = c, k·c = a, где a, b, c — векторы. 1) Случай a ≠ 0 - Так как b = x a, вектор b должен быть параллелен a. Тогда существует единственный x ≡ x = b_i / a_i для любого компонента i, где a_i ≠ 0 (проверить, что это отношение одинаково для всех i). - Аналогично, c = y a, так что существует y = c_i / a_i для любого i, где a_i ≠ 0 (одинаковое отношение для всех таких i). - Из третьего уравнения: a = k c = k (y a) ⇒ (k y) a = a. При a ≠ 0 это даёт k y = 1, следовательно k = 1/y. Итого, при a ≠ 0 необходимые и достаточные условия: - b = x a и c = y a для некоторых скаляров x, y; - тогда x и y определяются как скаляры отношения соответствующих компонент, и k = 1/y. 2) Случай a = 0 - Тогда x·a = b дает 0 = b, т.е. b должен быть нулевым вектором. - y·a = c дает 0 = c, т.е. c должен быть нулевым вектором. - Уравнение k·c = a автоматически верно (0 = 0) и любого k, x, y будет достаточно. Вывод: - Существование решения возможно только если все вектора параллельны a (то есть b ∥ a и c ∥ a). - Если a ≠ 0, то x и y — скаляры параллельности b и c к a, а k = 1/y, при условии что c ≡ y a. - Если a = 0, требуется b = 0 и c = 0; тогда любые x, y, k удовлетворяют системе. Пример: a = (1, 2), b = (3, 6) ⇒ x = 3; c = (4, 8) ⇒ y = 4; k = 1/4. Проверка: k·c = (1/4)(4,8) = (1,2) = a.