На пружину жесткостью К одвесили грузик массой 1 кг. После этого пружину еще растянули на 5 сми отпустили 5 грузик. Равнодействующая сил, действующих на грузик, в момент, когда грузик переместится на 7 см с момента начала движения, равна з Н. Определите жесткость пружины. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с2

Решение (детальное, пошагово) Дано: - Масса m = 1 кг, сила тяжести g = 9,8 м/с². - Пружина с жёсткостью k (неизвестна). - После присоединения массы пружину растянули ещё на Δx = 5 см = 0,05 м и отпустили. - В момент, когда грузик переместился на 7 см = 0,07 м от момента начала движения, равнодействующая сила равна F = 3 Н (предположим, что z Н в условии — это численно 3 Н). - Пусть движение идёт вдоль вертикали вниз. 1) Введение в разложении по вынужденной оси Для вертикальной пружины в равновесии сила тяжести mg растягивает её на x0, где: x0 = mg / k. После этого пружину растягивают ещё на Δx = 0,05 м и отпускают. Тогда движение можно описывать по смещению от положения равновесия: x(t) = смещение от равновесия, satisfy m x'' + k x = 0. Решение даёт гармоническое движение с: ω = sqrt(k/m), x(t) = Δx cos(ω t). 2) Определение текущего положения относительно равновесия Начальное положение относительно равновесия после отпускания: x(0) = Δx = 0,05 м, скорость 0. Через 0,07 м от момента начала движения грузик переместится вверх (к равновесию), т.е. x уменьшится. Позицию при этом можно определить через изменение от начала движения: x_release = x0 + Δx (абсолютное растяжение отnatural length). Через 0,07 м от начала движения поглощаемое положение относительно равновесия будет: x(t) = Δx cos(ω t), однако мы знаем изменение от начала движения: Δy = y(t) - y_release = -0,07 м. Чтобы выразить через x, заметим: y_release = x0 + Δx, а y(t) = x0 + x(t) = x0 + Δx cos(ω t). Поэтому Δy = (x0 + Δx cos(ω t)) - (x0 + Δx) = Δx (cos(ω t) - 1). Из условия движения на 0,07 м вверх получаем: Δy = -0,07 = Δx (cos(ω t) - 1). Но нам не нужно явно вычислять ω или t для k, достаточно использовать момент, когда смещение относительно равновесия равно z: z = x(t) = Δx cos(ω t). Из формулы выше: cos(ω t) - 1 = -0,07 / Δx = -0,07 / 0,05 = -1,4, что само по себе невозможно, если рассматривать cos(ω t) напрямую. Однако удобнее учитывать положение относительно равновесия сразу по этому другому аргументовому трюку: В момент времени, когда грузик на 0,07 м переместился от начала движения вверх, его положение относительно равновесия равно: z = Δx - 0,07 = 0,05 - 0,07 = -0,02 м. То есть на этот момент грузик находится на 2 см выше положения равновесия (отрицательное смещение относительно равновесия означает, что растяжение меньше статического). 3) Сила и ускорение в этом моменте Уравнение движения вокруг положения равновесия: m z'' = -k z. Следствием является ускорение: a = z'' = -(k/m) z. Подставляя z = -0,02 м получаем: a = -(k/m) (-0,02) = (k/m) · 0,02 м/с². Сила, действующая на грузик, равна F_net = m a = m · (k/m) · 0,02 = 0,02 k Н. 4) По условию F_net известна Если задана равнодействующая сила F_net = F = 3 Н, то: 0,02 k = 3 => k = 3 / 0,02 = 150 Н/м. Ответ: жесткость пружины k = 150 Н/м. Замечания: - Если данная равнодействующая сила в условии была другая F Н, общий зависимый вид: k = F / 0,02. - Простейшее физическое проверочное замечание: x0 = mg/k ≈ 9,8/150 ≈ 0,065 м, что согласуется с тем, что статическое растягивание около 6.5 см, а дополнительное растяжение перед отпусканием было 5 см.