докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом

Доказательство по шагам (для прямоугольника, диагонали которого перпендикулярны).

Обозначения:

• Пусть ABCD — прямоугольник (AB ∥ CD, BC ∥ AD, угол A, B, C, D — прямые углы).
• Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
• Пусть AC ⟂ BD (перпендикулярны).

Пошаговое доказательство:

1. В прямоугольнике диагонали пересекаются в своей середине: OA = OC и OB = OD.

2. Так как AC ⟂ BD (дано), то линии AO и BO перпендикулярны друг другу (AO лежит на AC, BO на BD). Поэтому треугольник AOB — прямоугольный в точке O. Аналогично треугольник BOC — прямоугольный в точке O (BO ⟂ CO).

3. В прямоугольном треугольнике AOB гипотенузой является AB, следовательно AB^2 = AO^2 + BO^2. В прямоугольном треугольнике BOC гипотенузой является BC, следовательно BC^2 = BO^2 + CO^2.

4. Так как O — середина диагонали AC, имеем AO = OC.

5. Из пунктов 3 и 4 следует: AB^2 = AO^2 + BO^2 = BO^2 + CO^2 = BC^2. Значит AB = BC (с положительных длин сторон).

6. В прям quadrilateral ABCD соседние стороны AB и BC перпендикулярны и равны. Это означает, что ABCD — квадрат.

Итог: если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.