докажите что медиана прямоугольного треугольника проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы
Дано: прямоугольный треугольник ABC с ∠A = 90°, и точка M — середина гипотенузы BC (то есть MB = MC).
Доказательство (слово за словом):
По теореме Фалеса (или по определению окружности: угол, subtendящийся на дуге диаметра, равен 90°) окружность с диаметром BC состоит из точек, для которых угол BÂC равен 90°. Так как ∠A = 90°, точка A лежит на окружности с диаметром BC. Центр этой окружности — середина диагонали BC, то есть точка M, а радиус равен MB = MC = BC/2.
Так как A лежит на той же окружности, расстояния от центра окружности до всех её точек одинаковы: MA = MB = MC.
Из пункта 1 имеем MB = MC = BC/2, значит и MA = BC/2. Но AM — это медиана, проведенная из вершины A к гипотенузе BC.
Следовательно, медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: AM = BC/2.
Дополнительно (альтернативный подход): координатное доказательство.
- Пусть A = (0,0), B = (b,0), C = (0,c) с b>0, c>0. Тогда гипотенуза BC имеет длину BC = sqrt(b^2 + c^2). Её середину M = (b/2, c/2). Расстояние AM равно sqrt((b/2)^2 + (c/2)^2) = (1/2) sqrt(b^2 + c^2) = BC/2. Это ещё раз доказывает требуемое.
