Сколько прямых, заданных вершинами куба A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ , параллельны плоскости ( B 1 B C ) (B 1 ​ BC) ? Запиши в поле ответа верное число.

Пояснение и решение:

• Плоскость через B1, B, C — это боковая грань куба, задаваемая x = 1 (в координатной схеме: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1)).
• Прямая, параллельная этой плоскости, имеет направление вдоль плоскости и перпендикулярна нормали к плоскости (нормаль к x = 1,0,0). Значит, dx = 0 для любой такой прямой; то есть оба конца прямой должны иметь одинаковое значение x.
• В кубе есть две группы вершин по x: с x = 0 и с x = 1. В каждой группе по 4 вершинам:
  • x = 0: A, D, A1, D1
  • x = 1: B, C, B1, C1
• Количество прямых, заданных двумя вершинами одной группы (любые пары из 4 вершин) равно C(4,2) = 6. Всего две группы, значит 6 + 6 = 12 прямых.
• Нет удвоения счёта, потому что в кубе не существует более чем двух вершин на одной прямой (нет тройной коллинеарности среди вершин с учетом данного ограничения).

Ответ: 12