1. Один из углов параллелограмма на 36(0) больше другого. Найдите углы параллелограмма. 2. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на две части, каждая из которых равна…

Ниже подробные решения по каждому из заданий с пошаговыми объяснениями.

1. Один из углов параллелограмма на 36° больше другого. Найдите углы параллелограмма.

• В параллелограмме соседние углы supplementary: A + B = 180°.
• Пусть один угол равен B, другой на 36° больше: A = B + 36°.
• Подставляем: (B + 36°) + B = 180° → 2B = 144° → B = 72°.
• Тогда A = B + 36° = 72° + 36° = 108°.
• Итого углы параллелограмма: 108°, 72°, 108°, 72° (попарно совпадают по равенству).

2. Биссектриса угла прямоугольника делит его сторону на две части, каждая из которых равна 6 см. Найдите периметр этого прямоугольника.

• Обозначим прямоугольник ABCD так, чтобы AB — основание внизу, BC — высота. Пусть ширина (длина основания AB) равна w, высота (AD) равна h.
• Угол при A прямой: 90°. Его биссектор проходит под углом 45°, поэтому при пересечении противоположной стороны CD точка делит CD на две части одинаковой длины.
• Пусть точка пересечения с CD — E. Тогда DE = EC = 6 см, а значит CD = 12 см.
• Так как CD параллельна AB и равна w, получаем w = 12.
• Так как E лежит на CD и делит ее пополам, вертикальная высота прямоугольника равна h = DE по треугольнику прямоугольному, то есть h = 6.
• Периметр прямоугольника P = 2(w + h) = 2(12 + 6) = 36 см.

3. Один из углов ромба равен 60°, а меньшая диагональ равна 5 см. Найдите периметр ромба.

• Пусть сторона ромба равна s, угол между соседними сторонами равен 60°. Диагонали ромба равны: d1 = 2s cos(θ/2) и d2 = 2s sin(θ/2), где θ — угол при вершине ромба (60°). Для θ = 60° получаем: d1 = 2s cos 30° = 2s · (√3/2) = s√3, d2 = 2s sin 30° = 2s · (1/2) = s.
• Меньшая диагональ равна d2 = s. По условию d2 = 5 см, значит s = 5 см.
• Периметр ромба P = 4s = 20 см.

4. В разнобедренной трапеции основания равны 5 см и 13 см, а периметр равен 34 см. Найдите углы трапеции.

• Прежде чем приступить, уточним: в условиях используется слово, близкое к «разнобедренная». Но чтобы задача имела красивое решение, удобнее считать, что трапеция равнобедренная (то есть боковые стороны равны). В противном случае задача имеет бесконечно много решений. Поэтому ниже разберём случай равнобедренной трапеции.
• Пусть основания AB = 13 см и CD = 5 см, боковые стороны AD и BC равны и обозначим их длину a. Периметр: AB + BC + CD + AD = 13 + a + 5 + a = 34 → 2a = 34 − 18 = 16 → a = 8 см.
• Разность длин оснований составляет 8 см. В равнобедренной трапеции боковые стороны симметрично смещают верхнюю базу относительно нижней на половину разности: каждый боковый отрезок снизу имеет горизонтальную компоненту x = (13 − 5)/2 = 4 см.
• Высота h удовлетворяет теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной и горизонтальной компонентой: a^2 = h^2 + x^2 → 8^2 = h^2 + 4^2 → 64 = h^2 + 16 → h^2 = 48 → h = 4√3 см.
• Угол при основании AB (или CD) найдём по tan: tan(угол) = противолежащий катет/horizontal adjacent = h / x = (4√3) / 4 = √3.
• Значит угол при основании равен arctan(√3) = 60°. Соответственно соседний по линии основания угол допольняется до 180°, то есть равен 120°.
• Итого углы трапеции: 60°, 120°, 60°, 120° (на каждом основании пары углы равны).

Итог по всем задачам:

1. 108° и 72° (чётко пары: 108°, 72°, 108°, 72°).
2. Периметр прямоугольника 36 см (стороны 12 см и 6 см).
3. Периметр ромба 20 см.
4. Если трапеция равнобедренная (пояснение выше), углы равны 60° и 120° (попарно: 60°, 120°, 60°, 120°). Если же трактовать как разнобедренную трапецию с данными данными, задача не имеет единственного решения.