CD являеться медианой равнобедренного треугольника основание которого АВ найди СD если периметры треугольников АВС и CD равны 36 и 25

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC основание AB, CD – медиана к основанию (то есть D – середина AB, CD является высотой). Известны периметры треугольников ABC и ACD: PABC = 36, PACD = 25. Найти CD.

Пусть:

• AC = BC = a (у равнобедренного треугольника боковые стороны равны),
• AB = b (основание),
• CD = h (медиана к основанию, в равнобедренном треугольнике она же высота).

Дополнительные соотношения:

• Длина AD = DB = b/2 (D — середина AB).
• Так как CD — высота к основанию AB, угол ADC равен 90°, следовательно треугольник ACD прямоугольный, гипотенуза AC = a, катеты AD = b/2 и CD = h.
• Периметры:
  • PABC = AC + BC + AB = 2a + b = 36,
  • PACD = AC + CD + AD = a + h + b/2 = 25.

Шаги решения:

1. Из первого уравнения: a = (36 − b)/2.
2. Из второго уравнения: h = 25 − a − b/2. Подставим a из п.1: h = 25 − (36 − b)/2 − b/2 = 25 − 18 + b/2 − b/2 = 7. Значит CD = h = 7.

Проверка (по желанию):

• В треугольнике ACD верно: a^2 = h^2 + (b/2)^2. Подставим h = 7 и a = (36 − b)/2: ((36 − b)^2)/4 = 49 + b^2/4 → (36 − b)^2 = 196 + b^2 → 1296 − 72b + b^2 = 196 + b^2 → 72b = 1100 → b = 275/18. Тогда a = (36 − b)/2 = 373/36. Эти значения удовлетворяют обеим периметрам, всё согласуется.

Ответ: CD = 7.