Натуральные числа a,b,c таковы, что a2 b+b2 c+c2 a=ab2+bc2+ca2 и abc=34034. Чему равна сумма a+b+c?
Дано: натуральные a, b, c такие что a^2 b + b^2 c + c^2 a = a b^2 + b c^2 + c a^2 и abc = 34034. Нужно найти a + b + c.
- Используем известное тождество a^2 b + b^2 c + c^2 a - (ab^2 + bc^2 + ca^2) = -(a - b)(b - c)(c - a).
Следовательно, из условия равенства слева получаем (a - b)(b - c)(c - a) = 0.
Это значит, что по крайней мере две переменные равны.
- Рассмотрим случаи, когда две переменные равны, и учитываем abc = 34034.
Разложим 34034: 34034 = 2 × 7 × 11 × 13 × 17.
Случай a = b. Тогда a^2 c = 34034. Так как в разложении 34034 все простые встречаются по единице, экспоненты в a^2 не могут быть положительными (они чётные). Единственный вариант — a = 1, следовательно c = 34034.
Случай b = c. Тогда a b^2 = 34034. Аналогично из-за чётности в b^2 имеем b = 1, значит a = 34034.
Случай c = a. Тогда a^2 b = 34034. Аналогично a = 1, значит b = 34034.
Таким образом, все допустимые тройки — это перестановки тройки (1, 1, 34034).
- Найдём сумму Для любой перестановки a + b + c = 1 + 1 + 34034 = 34036.
Ответ: 34036.
