Решить систему уравнений x/y -xy = -9 2xy- 3y/ x =23

Задача: решить систему 1) x/y − x y = −9, при y ≠ 0 2) 2 x y − 3 y/x = 23, при x ≠ 0 Пошаговое решение 1) Введем удобную подстановку. Пусть p = x/y. Тогда x = p y, и xy = p y^2, а y/x = 1/p. 2) Приведем первую часть подстановки к удобной форме: x/y − x y = p − p y^2 = −9 Отсюда p y^2 = p + 9. Это важно для дальнейших вычислений. 3) Перепишем второе уравнение через p и y: 2xy − 3(y/x) = 2(p y^2) − 3(1/p) = 23 Используем из пункта 2 выражение p y^2 = p + 9: 2(p + 9) − 3/p = 23 ⇨ 2p + 18 − 3/p = 23 4) Умножим на p и решим квадратное уравнение для p: 2p^2 + 18p − 3 = 23p 2p^2 − 5p − 3 = 0 Дискриминант Δ = (-5)^2 − 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49 p = [5 ± √49] / (2·2) = [5 ± 7] / 4 Возможны значения p: - p = 3 - p = −1/2 5) Рассмотрим каждый случай. - Случай 1: p = x/y = 3 Из p y^2 = p + 9 получаем 3 y^2 = 12 ⇒ y^2 = 4 ⇒ y = 2 или y = −2. Тогда x = p y = 3y ⇒ • если y = 2, то x = 6 • если y = −2, то x = −6 Проверка в уравнениях подтверждает корректность. Итак, решения в этом случае: (x, y) = (6, 2) и (−6, −2). - Случай 2: p = x/y = −1/2 Тогда p y^2 = p + 9 ⇒ (−1/2) y^2 = (−1/2) + 9 = 17/2 ⇒ y^2 = −17, что даёт комплексные решения y = ± i√17. Соответственно x = p y = (−1/2) y = ∓ i√17 / 2. Эти решения относятся к комплексным числам; для действительных чисел они не существуют. 6) Ответ (для вещественных чисел): Решения системы в вещественных числах: (x, y) = (6, 2) и (−6, −2). Проверка (быстро): - Для (6, 2): x/y − xy = 6/2 − 6·2 = 3 − 12 = −9; 2xy − 3y/x = 2·6·2 − 3·2/6 = 24 − 1 = 23. - Для (−6, −2): x/y − xy = (−6)/(−2) − (−6)(−2) = 3 − 12 = −9; 2xy − 3y/x = 2·(−6)(−2) − 3(−2)/(−6) = 24 − 1 = 23.