Докажите, что числа 272 и 1365 взаимно простые

Давайте докажем это двумя способами.

1. Способ Евклида (пошагово по делениям)

• Найдём НОД(1365, 272): 1365 = 5 · 272 + 5 (остаток 5) Значит gcd(1365, 272) = gcd(272, 5)

• Теперь делим 272 на 5: 272 = 54 · 5 + 2 (остаток 2) Значит gcd(272, 5) = gcd(5, 2)

• Делим 5 на 2: 5 = 2 · 2 + 1 (остаток 1) Значит gcd(5, 2) = gcd(2, 1)

• Делим 2 на 1: 2 = 2 · 1 + 0 Когда остаток стал 0, получаем последний ненулевой остаток — 1.

Итак, gcd(272, 1365) = 1. Значит числа 272 и 1365 взаимно простые.

2. Способ разложения на простые множители (для проверки)

• 272 = 2^4 · 17 (потому что 272 = 16 · 17)
• 1365 = 3 · 5 · 7 · 13 (потому что 1365 = 3 · 5 · 7 · 13)

У 272 и 1365 нет общих простых делителей, следовательно gcd(272, 1365) = 1.

Ответ: да, числа 272 и 1365 взаимно простые. Их наибольший общий делитель равен 1.