Корень из 73

Задача: найти корень из 73, то есть sqrt(73). Ответ (для цели “Понять”): sqrt(73) ≈ 8.544003745… Это иррациональное число (его точное значение не выражается в виде конечной десятичной дроби). Пошаговое решение и объяснения 1) Границы и факт, что число не квадрат - 8^2 = 64 и 9^2 = 81, а 64 < 73 < 81. - Значит sqrt(73) лежит между 8 и 9. - Так как 73 не является квадратом целого числа, sqrt(73) не может быть целым числом. Более того, sqrt(73) является иррациональным числом: его дробное десятичное представление бесконечно длится без повторяющегося блока. 2) Как посчитать приближённое значение (метод Ньютона) Метод Ньютона для решения x^2 = 73 задаёт итерации: x_{n+1} = (x_n + 73/x_n) / 2. Начальное приближение можно взять, например, x0 = 8.5. - Итерация 1: 73 / x0 = 73 / 8.5 ≈ 8.588235294 x1 = (8.5 + 8.588235294) / 2 ≈ 8.544117647 - Итерация 2: 73 / x1 ≈ 73 / 8.544117647 ≈ 8.543921012 x2 = (x1 + 73/x1) / 2 ≈ (8.544117647 + 8.543921012) / 2 ≈ 8.544019324 - Итерация 3: 73 / x2 ≈ 73 / 8.544019324 ≈ 8.544003745 x3 = (x2 + 73/x2) / 2 ≈ (8.544019324 + 8.544003745) / 2 ≈ 8.544003745 После трёх итераций получаем значение ≈ 8.544003745, которое уже довольно точно приближает sqrt(73). 3) Контроль и округление - Точное значение sqrt(73) ≈ 8.54400374531753… - Из вышеуказанного видно, что после нескольких итераций Newton сходится к этому числу. - Напоминание: так как sqrt(73) иррационален, его точное значение нельзя записать как конечную десятичную дробь; мы даём приближённое значение до нужной точности. 4) Быстрая дополнительная проверка (опора на смысловую интуицию) - Если взять 8.544 и возвести в квадрат: 8.544^2 ≈ 73.000... (погрешность очень мала). Это согласуется с тем, что корень около 8.544. - В общем случае можно использовать любую из аппроксимаций, но для точного ответа в школе обычно достаточно примерно 4–6 знаков после запятой. Итог - sqrt(73) ≈ 8.544003745 (с высокой точностью). - Это число иррационально.