Найди двумя способами дисперсию числового набора: 2,3,7,7,1,3,16,5,11

Задача: найти дисперсию набора чисел 2, 3, 7, 7, 1, 3, 16, 5, 11 двумя способами. Данные: n = 9. 1) Способ 1 — по определению (популяционная дисперсия) - Шаг 1. Найдём среднее: μ = (2+3+7+7+1+3+16+5+11)/9 = 55/9. - Шаг 2. Посчитаем сумму квадратов отклонений: Σ(xi − μ)². Используя μ = 55/9, получаем отклонения и их квадраты: (2 − 55/9)² = (−37/9)² = 1369/81 (3 − 55/9)² = (−28/9)² = 784/81 (7 − 55/9)² = (8/9)² = 64/81 (7 − 55/9)² = 64/81 (1 − 55/9)² = (−46/9)² = 2116/81 (3 − 55/9)² = (−28/9)² = 784/81 (16 − 55/9)² = (89/9)² = 7921/81 (5 − 55/9)² = (−10/9)² = 100/81 (11 − 55/9)² = (44/9)² = 1936/81 Σ = (1369 + 784 + 64 + 64 + 2116 + 784 + 7921 + 100 + 1936)/81 = 15138/81 - Шаг 3. Разделим на n (для дисперсии по определению): σ² = (1/9) · (15138/81) = 15138/729. - Шаг 4. Упростим: gcd(15138, 729) = 9 → σ² = (15138/9) / (729/9) = 1682/81. - Численно: σ² ≈ 1682 / 81 ≈ 20.765. Итого: популяционная дисперсия набора равна 1682/81 ≈ 20.765. 2) Способ 2 — через разложение E[X²] − (E[X])² - Шаг 1. Найдём E[X] = μ = 55/9 (как выше). - Шаг 2. Найдём E[X²] — среднее квадрата значений: xi²: 4, 9, 49, 49, 1, 9, 256, 25, 121; сумма = 523. E[X²] = 523/9. - Шаг 3. Вычислим вариацию: σ² = E[X²] − (E[X])² = (523/9) − (55/9)². (55/9)² = 3025/81. Приведём к общему знаменателю: 523/9 = 4707/81. σ² = 4707/81 − 3025/81 = 1682/81. - Численно: σ² ≈ 1682/81 ≈ 20.765. Итого: оба способа дают одно и то же значение популяционной дисперсии: 1682/81 ≈ 20.765. Примечание (по желанию): если речь идёт о несмещённой выборочной дисперсии, то s² = Σ(xi − μ)² / (n − 1) = (15138/81) / 8 = 841/36 ≈ 23.361, и соответствующее стандартное отклонение s ≈ 4.834. Но для самой задачи обычно нужна популяционная дисперсия, как посчитано выше.