Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15°

Цель задачи: найти гипотенузу прямоугольного треугольника при условии, что высота, опущенная на гипотенузу, равна 1 см, и один из острых углов равен 15°.

Обозначения и идеи

• Пусть треугольник ABC прямоугольный в C, гипотенуза AB = c.
• Угол A = 15°, значит угол B = 75°.
• Обозначим стороны: a = BC напротив угла A, b = AC напротив угла B. Тогда a = c sin A, b = c sin B.
• Высота h, опущенная на гипотенузу AB, относится по формуле h = (a·b)/c. Это следует из равенства площадей: S = (1/2)ab = (1/2)ch.

Решение

1. Запишем высоту через стороны гипотенузы: h = (a b)/c.

2. Подставим выражения для a и b через c: a = c sin 15°, b = c sin 75°. Тогда h = (c sin 15° · c sin 75°) / c = c · sin 15° · sin 75°.

3. Отсюда c = h / (sin 15° · sin 75°).

4. Найдём синусы: sin 15° = (√6 − √2)/4, sin 75° = (√6 + √2)/4. Произведение: sin 15° · sin 75° = [(√6 − √2)(√6 + √2)]/16 = (6 − 2)/16 = 4/16 = 1/4.

5. Подстановка h = 1 см: c = 1 / (1/4) = 4 см.

Ответ: гипотенуза равна 4 см.

Пояснение

• Можно проверить численно: sin15° ≈ 0.2588, sin75° ≈ 0.9659, их произведение ≈ 0.25. Тогда h ≈ c · 0.25, и если h = 1, то c ≈ 4, что согласуется с точным результатом 4 см.