Y=x⁵+9x²⁰+1

Задача: y = x^5 + 9x^20 + 1. Рассматриваем как функцию y(x) и разберём её дифференцирование, критические точки и общую форму графика. 1) Производная (чтобы понять направление движения и найти критические точки) - y' = d/dx(x^5) + d/dx(9x^20) + d/dx(1) = 5x^4 + 180x^19. - Можно вынести общий множитель: y' = 5x^4(1 + 36x^15). 2) Критические точки (где y' = 0) - y' = 0 даёт 5x^4(1 + 36x^15) = 0. - Корни: x^4 = 0 → x = 0; и 1 + 36x^15 = 0 → x^15 = -1/36 → единственный действительный корень x = - (1/36)^(1/15). - Численно (приближённо): (1/36)^(1/15) ≈ 0.787, значит второй корень x ≈ -0.787. Итак, две реальные критические точки: x1 = 0 и x2 ≈ -0.787. 3) Характер критических точек (второй признак или анализ знака производной) - Найдём вторую производную: y'' = d/dx(5x^4) + d/dx(180x^19) = 20x^3 + 3420x^18 = 20x^3(1 + 171x^15). - В точке x2, где x2^15 = -1/36: y''(x2) = 20x2^3(1 + 171(-1/36)) = 20x2^3(1 - 171/36) = 20x2^3(-15/4) = -75 x2^3. Так как x2 ≈ -0.787, x2^3 < 0, значит y''(x2) > 0. Это локальный минимум в точке x ≈ -0.787. - В точке x = 0: y''(0) = 0, тест второй производной не даёт ответа. Зато можно по знаку y': - Для x < x2 (пример: x = -1): y' = 5(-1)^4(1 + 36(-1)^15) = 5(1)(1 - 36) < 0. - Для x2 < x < 0 (пример: x = -0.1): x^15 мал по модулю и отрицателен, 1 + 36x^15 > 0 → y' > 0. Для x > 0: x^15 > 0, 1 + 36x^15 > 0 → y' > 0. Значит: на (-∞, x2) y' < 0, на (x2, ∞) y' > 0, поэтому x ≈ -0.787 — локальный минимум; в точке x = 0 производная равна 0, но sign(y') не меняется вокруг 0, поэтому это точка касания с горизонтальной касательной, точка перегиба (инфлексия) с горизонтальной касательной. 4) Границы и общая картина графика - Стандартное поведение полинома старшего порядка: ведущий член 9x^20 положителен, поэтому при x → ±∞ функция y(x) → +∞. Оба конца графика стремятся вверх. - Локальный минимум при x ≈ -0.787; значения в конечной точке: y(0) = 0^5 + 9·0^20 + 1 = 1. y(x2) ≈ (x2)^5 + 9(x2)^20 + 1. Приблизительно, если взять x2 ≈ -0.787, то x2^5 ≈ -0.301, x2^20 ≈ (0.301)^4 ≈ 0.0082, 9x2^20 ≈ 0.074, значит y(x2) ≈ -0.301 + 0.074 + 1 ≈ 0.773. То есть минимум примерно на уровне 0.77–0.78. - Точка x = 0 — горизонтальная касательная, но не экстремум. Итого: - Производная: y' = 5x^4 + 180x^19 = 5x^4(1 + 36x^15). - Критические точки: x = 0 и x ≈ -0.787. - Характер: x ≈ -0.787 — локальный минимум; x = 0 — горизонтальная касательная, точка перегиба. - График: оба конца графика уходят вверх; глобальный минимум около x ≈ -0.787 с y ≈ 0.77; значение y(0) = 1. Если нужно, можно дополнительно построить приближённую интервалную диаграмму знаков y' и отдельно нарисовать пояснительную схема графика. Или можно рассмотреть вторую производную более детально для конкретной задачи (например, проверить выпуклость на разных интервалах).