Период колебаний пружинного маятника с грузом массой 2 кг на пружине жёсткостью 5 Н/м составляет

Задача: Период колебаний пружинного маятника с массой m = 2 кг на пружине жесткости k = 5 Н/м.

Ответ: T ≈ 3,97 с

Пошаговое решение и объяснение

• Модель движения: для массы, подвешенной на пружине, малые колебания описываются уравнением m x'' + k x = 0, где x — смещение от положения равновесия пружины. В вертикальном пружинном маятнике от гравитации положение равновесия сдвигается, но период колебаний зависит только от массы и жесткости пружины.

• Решение уравнения: привести к нормальной форме x'' + (k/m) x = 0. Здесь частота угла ω удовлетворяет ω^2 = k/m, поэтому ω = sqrt(k/m).

• Период колебаний: T = 2π/ω = 2π sqrt(m/k).

• Подстановка значений: m/k = 2/5 = 0,4, sqrt(m/k) = sqrt(0,4) ≈ 0,6324555, ω = sqrt(k/m) = sqrt(5/2) ≈ 1,5811 рад/с, T = 2π / ω ≈ 6,2831853 / 1,5811 ≈ 3,97 с.

Замечание

• Период не зависит от глубины отклонения от равновесия и от направления колебаний.
• В реальной системе наличие демпинга увеличит время затухания, но не существенно изменит период при слабом демпинге.