Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции f (x) = V25 - х? на отрезке [-2-V5; V5].

Задача: Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = √(25 − x^2) на отрезке [−2 − √5; √5].

Пошаговое решение:

1. Определим функцию и её область определения.

• f(x) = √(25 − x^2) определена там, где 25 − x^2 ≥ 0, то есть |x| ≤ 5.
• Наш отрезок: [−2 − √5, √5] лежит внутри [-5, 5], значит значения функции существуют на всём отрезке.

2. Найдём максимум функции на отрезке.

• Функция f(x) убывающая по модулю x: чем больше |x|, тем меньше под корнем выражение 25 − x^2.
• Следовательно, максимум достигается там, где |x| минимально на отрезке. Так как 0 находится в интервале [−2 − √5, √5], максимум достигается в x = 0.
• f_max = f(0) = √(25 − 0) = 5.

3. Найдём минимум функции на отрезке.

• Минимум достигается на конце отрезка, где |x| максимально.
• Левый конец: x_left = −2 − √5, его модуль больше правого конца.
• Тогда f_min = f(x_left) = √(25 − (−2 − √5)^2) = √(25 − (2 + √5)^2).
• Вычислим: (2 + √5)^2 = 4 + 4√5 + 5 = 9 + 4√5. Значит f_min = √(25 − (9 + 4√5)) = √(16 − 4√5) = 2√(4 − √5).
• Проверка численно: √5 ≈ 2.236, 4 − √5 ≈ 1.764, √(1.764) ≈ 1.328, умножим на 2 → ≈ 2.656. Это меньше, чем f(√5) = √(25 − 5) = √20 ≈ 4.472, подтверждая выбор левого конца как минимального.

4. Найдём произведение максимального и минимального значений.

• Произведение P = f_max · f_min = 5 · 2√(4 − √5) = 10√(4 − √5).
• Приблизительно P ≈ 10 · 1.328 ≈ 13.28.

Ответ: произведение наибольшего и наименьшего значений равно 10√(4 − √5) (примерно 13.28).