Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции f (x) = V25 - х? на отрезке [-2-V5; V5].

Задача: Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = √(25 − x^2) на отрезке [−2 − √5; √5]. Пошаговое решение: 1) Определим функцию и её область определения. - f(x) = √(25 − x^2) определена там, где 25 − x^2 ≥ 0, то есть |x| ≤ 5. - Наш отрезок: [−2 − √5, √5] лежит внутри [-5, 5], значит значения функции существуют на всём отрезке. 2) Найдём максимум функции на отрезке. - Функция f(x) убывающая по модулю x: чем больше |x|, тем меньше под корнем выражение 25 − x^2. - Следовательно, максимум достигается там, где |x| минимально на отрезке. Так как 0 находится в интервале [−2 − √5, √5], максимум достигается в x = 0. - f_max = f(0) = √(25 − 0) = 5. 3) Найдём минимум функции на отрезке. - Минимум достигается на конце отрезка, где |x| максимально. - Левый конец: x_left = −2 − √5, его модуль больше правого конца. - Тогда f_min = f(x_left) = √(25 − (−2 − √5)^2) = √(25 − (2 + √5)^2). - Вычислим: (2 + √5)^2 = 4 + 4√5 + 5 = 9 + 4√5. Значит f_min = √(25 − (9 + 4√5)) = √(16 − 4√5) = 2√(4 − √5). - Проверка численно: √5 ≈ 2.236, 4 − √5 ≈ 1.764, √(1.764) ≈ 1.328, умножим на 2 → ≈ 2.656. Это меньше, чем f(√5) = √(25 − 5) = √20 ≈ 4.472, подтверждая выбор левого конца как минимального. 4) Найдём произведение максимального и минимального значений. - Произведение P = f_max · f_min = 5 · 2√(4 − √5) = 10√(4 − √5). - Приблизительно P ≈ 10 · 1.328 ≈ 13.28. Ответ: произведение наибольшего и наименьшего значений равно 10√(4 − √5) (примерно 13.28).