Дана прямая призма АВСА1В1С1. Известно, что АВ = BC =AA1, уголABC = 120°. Найдите угол между прямыми А1С и АВ.
Задача в общем виде: прямая (правильная) призма ABC A1B1C1, AB = BC = AA1 и угол ABC = 120°. Найти угол между прямыми A1C и AB.
Обозначим AB = BC = AA1 = a.
1) Найдём AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos∠ABC
= a^2 + a^2 − 2a^2 cos 120°
= 2a^2 − 2a^2(−1/2) = 3a^2
⇒ AC = a√3.
2) Размещение координат (числовой подход):
- Положим A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0).
- Так как AB = BC = a и ∠ABC = 120°, вектора BA и BC должны образовать угол 120°. Вектор BA = A − B = (−a, 0, 0). Найдём BC = (dx, dy, 0) длины a с dx = a/2, dy = (√3/2)a. Тогда C = B + BC = (a + a/2, (√3/2)a, 0) = (3a/2, (√3/2)a, 0).
- Так как AA1 ⟂ плоскости основания и AA1 = a, то A1 = (0, 0, a).
3) Направление от A1 к C и направление AB:
- Вектор A1C = C − A1 = (3a/2, (√3/2)a, −a).
- Вектор AB = B − A = (a, 0, 0).
4) Косинус угла между прямыми (между векторами A1C и AB):
- u = A1C = (3a/2, (√3/2)a, −a), v = AB = (a, 0, 0).
- u · v = (3a/2)·a = 3a^2/2.
- |u| = a · √[(3/2)^2 + (√3/2)^2 + (−1)^2] = a · √(9/4 + 3/4 + 1) = a · √4 = 2a.
- |v| = |AB| = a.
Тогда cos ∠(A1C, AB) = (u · v) / (|u||v|) = (3a^2/2) / (2a · a) = 3/4.
5) Ответ:
∠(A1C, AB) = arccos(3/4) ≈ 41.41°.
