x⁴-5x²+4=0

Задача: x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Цель: Понять решение детально.

1. Приведём уравнение к квадратному виду.

• Обозначим y = x^2. Тогда уравнение становится квадратным по y: y^2 - 5y + 4 = 0.

2. Найдём корни квадратного уравнения по y.

• Дискриминант: D = (-5)^2 - 4·1·4 = 25 - 16 = 9.
• Корни y: y = [5 ± sqrt(9)]/2 = (5 ± 3)/2.
• Получаем y = 4 или y = 1.

3. Вернёмся к x.

• Если x^2 = 4, то x = ±2.
• Если x^2 = 1, то x = ±1.

4. Альтернативный способ (разложение на множители).

• Можно разложить исходное многочлен на множители: x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 4)(x^2 - 1).
• Далее каждый квадратный тройной множитель даёт корни: x^2 - 4 = 0 → x = ±2; x^2 - 1 = 0 → x = ±1.

5. Проверка.

• Подставим найденные корни: x = ±2: 16 - 20 + 4 = 0 → верно. x = ±1: 1 - 5 + 4 = 0 → верно.

Ответ: x ∈ { -2, -1, 1, 2 }. Все корни действительные.