3. Разложить на множители многочлен, и решить неравенство: P(x) = x³ + 2x² - 9x - 18 P(x) ≤ 0

Вот подробное решение задачи.

1. Разложение на множители P(x) = x^3 + 2x^2 − 9x − 18

• Сгруппируем: (x^3 + 2x^2) + (−9x − 18) = x^2(x + 2) − 9(x + 2)
• Вынося общий множитель: P(x) = (x + 2)(x^2 − 9)
• Разность квадратов: x^2 − 9 = (x − 3)(x + 3)

Итак, факторизация: P(x) = (x + 2)(x − 3)(x + 3)

2. Решение неравенства P(x) ≤ 0 P(x) ≤ 0 ⇔ (x + 2)(x − 3)(x + 3) ≤ 0

Корни: x = −3, −2, 3. Их можно выписать как точки разрыва знака.

3. Анализ знаков (таблица знаков)

• Интервал (-∞, −3): возьмём, например, x = −4 (x+2)<0, (x−3)<0, (x+3)<0 → произведение отрицательное
• Интервал (−3, −2): x = −2.5 (x+2)<0, (x−3)<0, (x+3)>0 → произведение положительное
• Интервал (−2, 3): x = 0 (x+2)>0, (x−3)<0, (x+3)>0 → произведение отрицательное
• Интервал (3, ∞): x = 4 все множители положительные → произведение положительное

Знаки по интервалам: (-∞, −3): отрицательно (−3, −2): положительно (−2, 3): отрицательно (3, ∞): положительно

Так как нужно ≤ 0, берем те интервалы, где P(x) < 0, и добавляем точки, где P(x) = 0 (корни).

Итого решение: P(x) ≤ 0 на \((-∞, −3] ∪ [−2, 3]\).

4. Проверка (рекомендовано)

• В точке x = −3: P(−3) = 0
• В точке x = −2: P(−2) = 0
• В точке x = 3: P(3) = 0
• Пример внутри интервала: x = 0 → P(0) = −18 ≤ 0
• Пример вне интервала: x = −4 → P(−4) < 0? находим отрицательное, что согласуется с таблицей на этом интервале.

Ответ: Разложение: P(x) = (x + 2)(x − 3)(x + 3) Неравенство: P(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−∞, −3] ∪ [−2, 3]