20х²-32х+3/3х²+7х+2 меньше или равно нулю

Задача: (20x^2 - 32x + 3) / (3x^2 + 7x + 2) ≤ 0.

Пошаговое решение

1. Разбор выражения

• Это рациональное неравенство: числитель делится на знаменатель и должно быть не положительным.
• Найдём факториалы.

2. Факторизация

• Числитель: 20x^2 - 32x + 3 = (2x - 3)(10x - 1). Проверка: (2x - 3)(10x - 1) = 20x^2 - 2x - 30x + 3 = 20x^2 - 32x + 3.
• Знаменатель: 3x^2 + 7x + 2 = (3x + 1)(x + 2). Проверка: (3x + 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x + x + 2 = 3x^2 + 7x + 2.

Итак, неравенство принимает вид: [(2x - 3)(10x - 1)] / [(3x + 1)(x + 2)] ≤ 0.

3. Область определения Знаменатель не нулевой: x ≠ -1/3 и x ≠ -2.

4. Критические точки (нулевые значения числителя и точки разрыва)

• Нули числителя: 2x - 3 = 0 → x = 3/2; 10x - 1 = 0 → x = 1/10.
• Точки разрыва знаменателя: x = -1/3 и x = -2.

Сортируем по возрастанию: -2, -1/3, 1/10, 3/2.

5. Проверка знаков на интервалах Разобьём вещественную ось на интервалы и определим знак выражения на каждом из них.

Факторы и их знаки:

• 2x - 3: отрицательно на x < 3/2, положительно на x > 3/2.
• 10x - 1: отрицательно на x < 1/10, положительно на x > 1/10.
• 3x + 1: отрицательно на x < -1/3, положительно на x > -1/3.
• x + 2: отрицательно на x < -2, положительно на x > -2.

Интервалы и знак дроби:

• (-∞, -2): числитель (-)(-) = +; знаменатель (-)(-) = + ⇒ дробь +
• (-2, -1/3): числитель (-)(-) = +; знаменатель (-)(+) = - ⇒ дробь -
• (-1/3, 1/10): числитель (-)(-) = +; знаменатель (+)(+) = + ⇒ дробь +
• (1/10, 3/2): числитель (-)(+) = -; знаменатель (+)(+) = + ⇒ дробь -
• (3/2, ∞): числитель (+)(+) = +; знаменатель (+)(+) = + ⇒ дробь +

6. Учитывая ≤ 0 и исключение точек разрыва

• На интервалах с отрицательным значением дроби: (-2, -1/3) и (1/10, 3/2).
• В точках, где числитель равен нулю: x = 1/10 и x = 3/2 дают значение 0, их включим.
• Точки разрыва: x = -2 и x = -1/3 исключаем (неопределено).

Итоговый ответ: (-2, -1/3) union [1/10, 3/2]

То есть решение неравенства consists в любом x из: -1) промежуток (-2, -1/3), -2) объединение с точками 1/10 и 3/2: [1/10, 3/2].