20х²-32х+3/3х²+7х+2 меньше или равно нулю

Задача: (20x^2 - 32x + 3) / (3x^2 + 7x + 2) ≤ 0. Пошаговое решение 1) Разбор выражения - Это рациональное неравенство: числитель делится на знаменатель и должно быть не положительным. - Найдём факториалы. 2) Факторизация - Числитель: 20x^2 - 32x + 3 = (2x - 3)(10x - 1). Проверка: (2x - 3)(10x - 1) = 20x^2 - 2x - 30x + 3 = 20x^2 - 32x + 3. - Знаменатель: 3x^2 + 7x + 2 = (3x + 1)(x + 2). Проверка: (3x + 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x + x + 2 = 3x^2 + 7x + 2. Итак, неравенство принимает вид: [(2x - 3)(10x - 1)] / [(3x + 1)(x + 2)] ≤ 0. 3) Область определения Знаменатель не нулевой: x ≠ -1/3 и x ≠ -2. 4) Критические точки (нулевые значения числителя и точки разрыва) - Нули числителя: 2x - 3 = 0 → x = 3/2; 10x - 1 = 0 → x = 1/10. - Точки разрыва знаменателя: x = -1/3 и x = -2. Сортируем по возрастанию: -2, -1/3, 1/10, 3/2. 5) Проверка знаков на интервалах Разобьём вещественную ось на интервалы и определим знак выражения на каждом из них. Факторы и их знаки: - 2x - 3: отрицательно на x < 3/2, положительно на x > 3/2. - 10x - 1: отрицательно на x < 1/10, положительно на x > 1/10. - 3x + 1: отрицательно на x < -1/3, положительно на x > -1/3. - x + 2: отрицательно на x < -2, положительно на x > -2. Интервалы и знак дроби: - (-∞, -2): числитель (-)(-) = +; знаменатель (-)(-) = + ⇒ дробь + - (-2, -1/3): числитель (-)(-) = +; знаменатель (-)(+) = - ⇒ дробь - - (-1/3, 1/10): числитель (-)(-) = +; знаменатель (+)(+) = + ⇒ дробь + - (1/10, 3/2): числитель (-)(+) = -; знаменатель (+)(+) = + ⇒ дробь - - (3/2, ∞): числитель (+)(+) = +; знаменатель (+)(+) = + ⇒ дробь + 6) Учитывая ≤ 0 и исключение точек разрыва - На интервалах с отрицательным значением дроби: (-2, -1/3) и (1/10, 3/2). - В точках, где числитель равен нулю: x = 1/10 и x = 3/2 дают значение 0, их включим. - Точки разрыва: x = -2 и x = -1/3 исключаем (неопределено). Итоговый ответ: (-2, -1/3) union [1/10, 3/2] То есть решение неравенства consists в любом x из: -1) промежуток (-2, -1/3), -2) объединение с точками 1/10 и 3/2: [1/10, 3/2].