Основание прямого параллелепипеда-ромб, площадь которого 1м². Площадь диагональных сечений 3м² и 6м². Найдите объём параллелепипеда.

Задача касается прямого параллелепипеда с основанием-ромбом (правый параллелепипед, основание – ромб). Пусть основание имеет сторону s и угол между сторонами θ. Тогда:

• Площадь основания B = s^2 sin θ = 1 м².
• Высота параллелепипеда над основанием равна h, объем V = B · h = h.

Диагональные сечения: возьмем две диагонали ромба как направления в основании. Обозначим вектора a и b – стороны основания, тогда диагонали основания равны d1 = a + b и d2 = a − b.

• Длина d1 и d2: |a ± b|^2 = |a|^2 + |b|^2 ± 2 a·b = s^2 + s^2 ± 2 s^2 cos θ = 2 s^2 (1 ± cos θ). Обозначим φ = θ/2. Тогда |a + b| = 2 s cos φ, |a − b| = 2 s sin φ.
• Площади диагональных сечений, проходящих через высоту h и через соответствующие диагонали основания: S1 = h · |a + b| = h · 2 s cos φ = 3 м², S2 = h · |a − b| = h · 2 s sin φ = 6 м².

Теперь выпишем известное и решим систему:

1. 3 = 2 s h cos φ
2. 6 = 2 s h sin φ

Из них отношение даёт cot φ = 3/6 = 1/2, значит tan φ = 2.

• sin φ = 2/√5, cos φ = 1/√5.

Из условия площади основания B = 1:

• sin θ = sin(2φ) = 2 sin φ cos φ = 2 · (2/√5) · (1/√5) = 4/5.
• B = s^2 sin θ = s^2 · (4/5) = 1 ⇒ s^2 = 5/4 ⇒ s = √5/2.

Х остается из любой из формул S1:

• 3 = 2 s h cos φ = 2 · (√5/2) · h · (1/√5) = h. Значит h = 3.

Итак, объем:

• V = B · h = 1 · 3 = 3 м³.

Ответ: объем параллелепипеда равен 3 м³.