√(22−√(160))(10+1)
Задача: √(22 − √(160)) · (10 + 1)
Шаги решения
Упростим квадратный корень внутри: √(160) = √(16 · 10) = 4√10. Значит выражение становится √(22 − 4√10) · 11.
Постараемся представить √(22 − 4√10) в виде разности квадратных корней: √m − √n, где (√m − √n)² = m + n − 2√(mn) = 22 − 4√10. Это требует:
- m + n = 22
- 2√(mn) = 4√10, то есть √(mn) = 2√10 → mn = 40.
Решим систему: m + n = 22 и mn = 40. Для t² − 22t + 40 = 0 получаем D = 22² − 4·40 = 324, sqrt(D) = 18. Витами: t = (22 ± 18)/2 → t = 20 или t = 2. Значит {m, n} = {20, 2}.
Следовательно √(22 − 4√10) = √20 − √2 (положительное значение, так как √20 > √2).
Теперь подставим и упростим: √(22 − √(160)) · 11 = (√20 − √2) · 11 = 11√20 − 11√2 = 11·(2√5) − 11√2 = 22√5 − 11√2.
Итог: 22√5 − 11√2.
Проверка (необязательная, для понимания): (√20 − √2)² = 20 + 2 − 2√40 = 22 − 2√40 = 22 − 4√10 = 22 − √160, что корректно. Значит корень равен √20 − √2, и результат равен 11(√20 − √2) = 22√5 − 11√2.
