6. Проверьте справедливость равенства
(AU B) xC= (AxC)U (Bx C)
для множеств А = (3, 5, 7}, В = (7,9), С = 10, 1).
Выполняется ли
для них равенство (A\B)xC =
= (AXC) (B x C)?
Задача касается свойств декартова произведения над объединением и разностью множеств. Рассмотрим множества:
A = {3, 5, 7}, B = {7, 9}, C = {10, 1}
1) Проверка тождества (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
- A ∪ B = {3, 5, 7} ∪ {7, 9} = {3, 5, 7, 9}
- (A ∪ B) × C = { (3,10), (3,1), (5,10), (5,1), (7,10), (7,1), (9,10), (9,1) }
- A × C = { (3,10), (3,1), (5,10), (5,1), (7,10), (7,1) }
- B × C = { (7,10), (7,1), (9,10), (9,1) }
- (A × C) ∪ (B × C) = { (3,10), (3,1), (5,10), (5,1), (7,10), (7,1), (9,10), (9,1) }
Равенство выполняется, обе стороны дают один и тот же набор пар.
2) Проверка тождества (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C)
- A \ B = элементы A, которых нет в B: {3, 5, 7} \ {7, 9} = {3, 5}
- (A \ B) × C = { (3,10), (3,1), (5,10), (5,1) }
- A × C = { (3,10), (3,1), (5,10), (5,1), (7,10), (7,1) }
- B × C = { (7,10), (7,1), (9,10), (9,1) }
- (A × C) \ (B × C) = удаляем из A×C те пары, которые есть в B×C → остаются: { (3,10), (3,1), (5,10), (5,1) }
Обе стороны равны: (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C) дают одно и то же множество.
Вывод:
- Для любых множеств верно (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C). В данных A, B, C это равенство подтверждается.
- Для любых множеств верно (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C). В данных A, B, C это равенство также подтверждается. Сечение конкретных множеств даёт: обе стороны равны { (3,10), (3,1), (5,10), (5,1) }.
