Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 5, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Задача: параллелограмм ABCD, бок BC = 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если расстояние от K до стороны AB равно 10. Решение: 1) Введём координаты. - Пусть A = (0, 0), B = (L, 0), где L = AB. - Вектор BC длины 5 образует угол α с AB. Тогда C = (L + 5 cos α, 5 sin α), D = (5 cos α, 5 sin α). - Площадь параллелограмма равна площади parallelogram AB × BC: S = AB · BC · sin α = L · 5 · sin α = 5(L sin α). 2) Биссектрисы углов A и B. - Угол A образован сторонами AB и AD, где AD направлена к D и равна вектору w = (5 cos α, 5 sin α). Единичные векторы вдоль сторон: e1 = (1, 0) и e2 = (cos α, sin α). Биссектриса угла A имеет направление e1 + e2 = (1 + cos α, sin α). Линия A: проходящая через A, с направлением (1 + cos α, sin α). Уравнение линии A: y = [sin α / (1 + cos α)] x. - Угол B образован BA (направление от B к A: (-1, 0)) и BC (направление (cos α, sin α)). Единичные векторы: (-1, 0) и (cos α, sin α). Их сумма дает направление биссектрисы B: (cos α − 1, sin α). Линия B: через B(L, 0) с направлением (cos α − 1, sin α). 3) Точка K как пересечение биссектрис. Параметрически: - Линия A: (x, y) = t(1 + cos α, sin α). - Линия B: (x, y) = (L, 0) + s(cos α − 1, sin α). Из равенства координат следует: y-координата: t sin α = s sin α ⇒ t = s (при sin α ≠ 0). x-координата: t(1 + cos α) = L + t(cos α − 1) ⇒ 2t = L ⇒ t = L/2. Значит, K = ( (L/2)(1 + cos α), (L/2) sin α ). Следовательно расстояние от K до AB (ось x, AB лежит на y = 0) равно y_K = (L/2) sin α. По условию расстояние BK до AB равно 10, значит: (L/2) sin α = 10 ⇒ L sin α = 20. 4) Площадь параллелограмма. S = 5(L sin α) = 5 · 20 = 100. Ответ: 100.