В прямоугольном треугольнике АВС расстояние от точки пересечения медиан до одного из катетов равно 5, а до гипотенузы равно 4. Найти радиус вписанной окружности.
Задача: в прямоугольном треугольнике ABC расстояние от точки пересечения медиан (центроид G) до одного из катетов равно 5, а до гипотенузы — 4. Найти радиус вписанной окружности r.
Пусть угол C = 90°, возьмём координации:
- C = (0, 0)
- A = (a, 0) (катет CA лежит на оси x)
- B = (0, b) (катет CB лежит на оси y)
Тогда центр масс (центр тяжести, точка пересечения медиан) G — среднее координат вершин: G = (a/3, b/3).
Расстояние от G до катета CA (линию y = 0) равно y-координате G: d(до CA) = b/3 = 5 → b = 15.
Расстояние от G до гипотенузы AB. Уравнение гипотенузы AB через A(a,0) и B(0,b): bx + ay = ab. Расстояние от точки G(x0, y0) до прямой bx + ay = ab = |b x0 + a y0 − ab| / sqrt(b^2 + a^2).
Здесь x0 = a/3, y0 = b/3, поэтому: d(до AB) = |b(a/3) + a(b/3) − ab| / sqrt(a^2 + b^2) = |2ab/3 − ab| / sqrt(a^2 + b^2) = (ab/3) / sqrt(a^2 + b^2).
По условию d(до AB) = 4, значит: ab / (3 c) = 4, где c = sqrt(a^2 + b^2) — гипотенуза. Отсюда ab = 12 c.
С учётом b = 15 получаем: 15a = 12 sqrt(a^2 + 225).
Решая: 225 a^2 = 144(a^2 + 225) → 81 a^2 = 32400 → a^2 = 400 → a = 20.
Гипотенуза c = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(400 + 225) = 25.
Радиус вписанной окружности r в правильном треугольнике можно найти как: r = (a + b − c)/2 = (20 + 15 − 25)/2 = 10/2 = 5.
Ответ: r = 5.
