x³ - 4x² - 7x +28=0

Задача: x^3 - 4x^2 - 7x + 28 = 0

Цель: понять решение с подробными объяснениями.

1. Найдём рациональный корень

• По теореме рациональных корней возможны делители свободного члена 28: ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28.
• Подставим в многочлен каждое значение и найдём ноль:
  • f(1) = 1 - 4 - 7 + 28 = 18
  • f(-1) = -1 - 4 + 7 + 28 = 30
  • f(2) = 8 - 16 - 14 + 28 = 6
  • f(-2) = -8 - 16 + 14 + 28 = 18
  • f(4) = 64 - 64 - 28 + 28 = 0
• Значит, x = 4 является корнем.

2. Факторизация по корню x = 4

• Делим многочлен на (x - 4). Можно сделать синтетическое деление с коэффициентами 1, -4, -7, 28:
  • Приносим 1; 1·4 = 4; сумма с -4 → 0; 0·4 = 0; сумма с -7 → -7; -7·4 = -28; сумма с 28 → 0.
• Получаем остаток 0 и двухчлен-фактор: x^2 + 0x - 7 = x^2 - 7.
• Итак, x^3 - 4x^2 - 7x + 28 = (x - 4)(x^2 - 7).

3. Решение квадратного уравнения

• x^2 - 7 = 0 → x^2 = 7 → x = ±√7.

4. Ответ

• Корни уравнения: x = 4, x = √7, x = -√7.

5. Дополнительная проверка (по желанию)

• Перепишем: (x - 4)(x^2 - 7) = 0.
• Подстановка любого из корней возвращает нулевой результат, что подтверждает правильность разложения и корней.

6. Примечание

• Все три корня вещественные: 4 ≈ 4.0, √7 ≈ 2.6458, -√7 ≈ -2.6458.
• Альтернативный способ разложения: через группировку
  • x^3 - 4x^2 - 7x + 28 = (x^3 - 4x^2) + (-7x + 28) = x^2(x - 4) - 7(x - 4) = (x - 4)(x^2 - 7).

Если нужно, могу привести ещё график или проверить решение численно.