X³ - 4x² - 7x +28=0

Задача: x^3 - 4x^2 - 7x + 28 = 0 Цель: понять решение с подробными объяснениями. 1) Найдём рациональный корень - По теореме рациональных корней возможны делители свободного члена 28: ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28. - Подставим в многочлен каждое значение и найдём ноль: - f(1) = 1 - 4 - 7 + 28 = 18 - f(-1) = -1 - 4 + 7 + 28 = 30 - f(2) = 8 - 16 - 14 + 28 = 6 - f(-2) = -8 - 16 + 14 + 28 = 18 - f(4) = 64 - 64 - 28 + 28 = 0 - Значит, x = 4 является корнем. 2) Факторизация по корню x = 4 - Делим многочлен на (x - 4). Можно сделать синтетическое деление с коэффициентами 1, -4, -7, 28: - Приносим 1; 1·4 = 4; сумма с -4 → 0; 0·4 = 0; сумма с -7 → -7; -7·4 = -28; сумма с 28 → 0. - Получаем остаток 0 и двухчлен-фактор: x^2 + 0x - 7 = x^2 - 7. - Итак, x^3 - 4x^2 - 7x + 28 = (x - 4)(x^2 - 7). 3) Решение квадратного уравнения - x^2 - 7 = 0 → x^2 = 7 → x = ±√7. 4) Ответ - Корни уравнения: x = 4, x = √7, x = -√7. 5) Дополнительная проверка (по желанию) - Перепишем: (x - 4)(x^2 - 7) = 0. - Подстановка любого из корней возвращает нулевой результат, что подтверждает правильность разложения и корней. 6) Примечание - Все три корня вещественные: 4 ≈ 4.0, √7 ≈ 2.6458, -√7 ≈ -2.6458. - Альтернативный способ разложения: через группировку - x^3 - 4x^2 - 7x + 28 = (x^3 - 4x^2) + (-7x + 28) = x^2(x - 4) - 7(x - 4) = (x - 4)(x^2 - 7). Если нужно, могу привести ещё график или проверить решение численно.