В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 48, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону…

Ответ: CD = 21

Пошаговое решение

• Задаём координаты:

  • A = (0, 0), C = (48, 0) (поскольку AC = 48).
  • B = (x, y) с условием AB = 36 → x^2 + y^2 = 1296.
  • О — центр описанной около треугольника, он лежит на перпендикуляре к AC в его середине, то есть O = (24, t) для некоторого t.

• Условие о центре окружности (O — окружности, проходящей через A, B, C): OA = OB. Посчитаем: OA^2 = (24 - 0)^2 + (t - 0)^2 = 576 + t^2. OB^2 = (x - 24)^2 + (y - t)^2. Тогда OB^2 = OA^2 даёт: (x - 24)^2 + (y - t)^2 = 576 + t^2. Раскрывая скобки и пользуясь x^2 + y^2 = 1296, получаем: 1296 - 48x - 2ty = 0 → 24x + ty = 648. (Уравнение A)

• Прямая BD: она проходит через B и перпендикулярна AO. У AO угол наклона m_AO = t/24, значит наклон BD равен m = -24/t. Точка D лежит на AC, значит её координата по x равна x_D, а y_D = 0. Неравенство для пересечения BD с y = 0 даёт: 0 - y = m (x_D - x) → x_D = x - y/m. Подставим m = -24/t: x_D = x - y / (-24/t) = x + (y t)/24.

• Найдём CD. Так как C имеет координату x = 48, получаем: CD = |48 - x_D|. Но x_D = x + (yt)/24, поэтому CD = 48 - (x + (yt)/24).

• Воспользуемся уравнением A: 24x + ty = 648. Пусть S = ty. Тогда 24x = 648 - S. Подстановка в выражение для x_D: x_D = x + (yt)/24 = (648 - S)/24 + S/24 = 648/24 = 27.

• Значит CD = 48 - 27 = 21.

Замечание: результат не зависит от конкретного значения BC и даже корректен в частном случае t = 0.