реши задачу по геометрии 10 класс просто дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 AB=a AB=b AC=c P-середина B1C,N- середина A1B1 найти: D1P, CN

Задача немного неоднозначна по параметрам. Принято считать, что речь идёт о прямоугольном параллелепипеде с ребрами AB = a, BC = b и высотой AA1 = c. (Если же нужен общий параллелепипед с основанием ABCD и высотой h, скажите — дам_general_ решения.)

Решение при условии прямоугольного параллелепипеда (AB = a, BC = b, AA1 = c)

1. Координатная привязка

• A = (0, 0, 0)
• B = (a, 0, 0)
• C = (a, b, 0)
• D = (0, b, 0)
• A1 = (0, 0, c)
• B1 = (a, 0, c)
• C1 = (a, b, c)
• D1 = (0, b, c)

2. Точки N и P

• N — середина A1B1: N = ((0+a)/2, (0+0)/2, (c+c)/2) = (a/2, 0, c)
• P — середина B1C: P = ((a+a)/2, (0+b)/2, (c+0)/2) = (a, b/2, c/2)

3. Векторы и их модули

• D1P = P − D1 = (a − 0, b/2 − b, c/2 − c) = (a, −b/2, −c/2) Длина: D1P = sqrt( a^2 + (b^2)/4 + (c^2)/4 ) = sqrt( a^2 + (b^2 + c^2)/4 )

• CN = N − C = (a/2 − a, 0 − b, c − 0) = (−a/2, −b, c) Длина: CN = sqrt( (a^2)/4 + b^2 + c^2 )

4. Ответ

• D1P = sqrt( a^2 + (b^2 + c^2)/4 )
• CN = sqrt( a^2/4 + b^2 + c^2 )

Примечание на случай другого толкования

• Если бы задача была дана для произвольного параллелепипеда (основание ABCD со сторонами AB = a, BC = b, диагональ AC = c, высота h = AA1), выражения будут другими. При таком варианте:
  • D1P^2 = (h^2 + 3 b^2 + 6 a^2 − 2 c^2)/4
  • CN^2 = (4 h^2 − a^2 + 2 b^2 + 2 c^2)/4 то есть D1P и CN зависят от h и других длин через эти формулы. Если подтвердите именно такой общий случай, дам расчёт именно под него.