В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания AB=6, а боковое ребро DC=8. На ребре DB отмечена точка K так, что BK/KD = 9/23. Найди синус угла между плоскостями (AKC) и (DBC).

Задача по геометрии в треугольной пирамиде (DABC). Условия приняты так: пирамида DABC — правильная треугольная пирамида: основание ABC — равносторонний треугольник со стороной AB = 6, боковые ребра DA = DB = DC = 8. Точка K лежит на ребре DB и BK:KD = 9:23. Найти синус угла между плоскостями (AKC) и (DBC). Пошаговое решение 1) Система координат и координаты вершин - Помещаем основание в плоскость z = 0: C = (0, 0, 0) B = (6, 0, 0) A = (3, 3√3, 0) (проверка: AB = 6, BC = CA = 6) - Апекс D над центром основания. Центр основания O имеет coordinates O = (3, √3, 0). Так как пирамида правильная, DA = DB = DC = 8, значит высота h такова, что расстояние от D до A равно 8: DA^2 = (A_x − D_x)^2 + (A_y − D_y)^2 + (0 − D_z)^2 = 8^2. Решая дают D_x = 3, D_y = √3 и D_z = h, находим h^2 + 12 = 64 → h = 2√13. Значит D = (3, √3, 2√13). 2) Положение точки K на DB - Пусть BK:KD = 9:23. Поскольку BD = 8, тогда BK = 8*(9/32) = 9/4 и KD = 8*(23/32) = 23/4. - Координаты K можно получить через деление отрезка BD в отношении 9:23: K = B + (9/32)(D − B) = (165/32, (9√3)/32, (9√13)/16). 3) Нормали к плоскостям (AKC) и (DBC) - Плоскость AKC задают двумя векторами в этой плоскости: A − K и C − K. A − K = (3 − 165/32, 3√3 − 9√3/32, 0 − 9√13/16) = (−69/32, (87√3)/32, −(9√13)/16) C − K = (−165/32, −(9√3)/32, −(9√13)/16) Их векторное произведение даёт нормаль n1 к плоскости AKC: n1 = (−27√39/16, 27√13/16, 117√3/8). - Плоскость DBC задают двумя векторами в этой плоскости: B − D и C − D. B − D = (3, −√3, −2√13) C − D = (−3, −√3, −2√13) Их векторное произведение даёт нормаль n2 к плоскости DBC: n2 = (0, 12√13, −6√3). 4) Угол между плоскостями - Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Для синуса этого угла вычислим скалярное произведение нормалей: n1 · n2 = (−27√39/16)*0 + (27√13/16)*(12√13) + (117√3/8)*(−6√3) = 0 + (324·13)/16 − (702·3)/8 = 4212/16 − 2106/8 = 4212/16 − 4212/16 = 0. - Следовательно, косинус угла между нормалями равен нулю, значит угол между плоскостями φ = 90°. Тогда sin φ = 1. Ответ: sin угла между плоскостями (AKC) и (DBC) равен 1.