Задача Задача №3469918
А
А
с помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC если A=80°, a=10, b=10
Задача: решить треугольник ABC при A = 80°, a = 10, b = 10, используя теоремы синусов и косинусов.
Пошаговое решение
- Определение оставшихся углов
- Так как a = b, углы напротив этих сторон равны: A = B.
- Дано A = 80°, значит B тоже равно 80°.
- Третий угол C: A + B + C = 180°, следовательно C = 180° − 80° − 80° = 20°.
- По теореме синусов найти сторону c
- Теорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
- Используем первую пару: c = a · sin C / sin A.
- Подставляем: c = 10 · sin 20° / sin 80°.
- Преобразование: sin 80° = cos 10°, sin 20° = 2 sin 10° cos 10°. Тогда c = 10 · (2 sin 10° cos 10°) / cos 10° = 20 · sin 10°.
- Численно: sin 10° ≈ 0.173648, значит c ≈ 20 · 0.173648 ≈ 3.47296.
Итого: c ≈ 3.473.
- Альтернативная проверка через теорему косинусов (для иллюстрации)
- В треугольнике стороны a и b образуют угол C, равный 20°.
- Теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C.
- Подставляем: c^2 = 10^2 + 10^2 − 2·10·10·cos 20° = 200 − 200 cos 20°.
- Используем тождество: 1 − cos 20° = 2 sin^2 10°, получаем c^2 = 200 · (1 − cos 20°) = 200 · 2 sin^2 10° = 400 sin^2 10°.
- Значит c = 20 sin 10° — то же значение ≈ 3.473.
Итоговый результат
- Углы: A = 80°, B = 80°, C = 20°.
- Стороны: a = 10, b = 10, c ≈ 3.473.
Заметка
- Поскольку a = b, треугольник равнобедренный и углы A и B равны, что сразу даёт C = 20°. Затем можно использовать либо теорему синусов, либо теорему косинусов для вычисления c.
