36. Решите уравнение (2х + 3)V3х - 12 = 0. 37. Решите уравнение V8 - 4х(3х - 7) = 0.

Задачи 36 и 37 решаем пошагово.

36. Решите уравнение (2x + 3)√(3x) − 12 = 0

1. Область допустимых значений: под радикалом 3x должно быть неотрицательным, значит x ≥ 0.

2. Введём замену: пусть t = √(3x) ≥ 0. Тогда x = t^2/3.

3. Подставим в уравнение: (2x + 3)√(3x) − 12 = 0 → (2(t^2/3) + 3) t − 12 = 0 → (2t^2/3 + 3) t = 12 → 2t^3/3 + 3t = 12 Умножим на 3: 2t^3 + 9t − 36 = 0

4. Это кубическое уравнение. Область t ≥ 0, и производная f'(t) = 6t^2 + 9 > 0, значит функция f(t) = 2t^3 + 9t − 36 строго возрастает и имеет единственный корень на [0, ∞). Проверяем значения: f(2) = 2·8 + 9·2 − 36 = 16 + 18 − 36 = −2 f(3) = 2·27 + 9·3 − 36 = 54 + 27 − 36 = 45 Корень лежит между 2 и 3. Численно находим t ≈ 2.0593.

5. Возвращаемся к x: x = t^2/3 ≈ (2.0593)^2 / 3 ≈ 4.2408 / 3 ≈ 1.4136.

Ответ: x ≈ 1.414 (до трёх знаков после запятой).

37. Решите уравнение √8 − 4x(3x − 7) = 0

1. Перепишем: √8 = 4x(3x − 7) Так как √8 = 2√2, получаем 4x(3x − 7) = 2√2

2. Раскроем скобки: 12x^2 − 28x = 2√2 Приведём к стандартному квадратному виду: 12x^2 − 28x − 2√2 = 0 Дифференцируем на 2: 6x^2 − 14x − √2 = 0

3. Решение квадратного уравнения: x = [14 ± √( (−14)^2 − 4·6·(−√2) )] / (2·6) x = [14 ± √(196 + 24√2)] / 12

4. Численно: √2 ≈ 1.41421356 → 196 + 24√2 ≈ 196 + 33.941126 ≈ 229.941126 √(229.941126) ≈ 15.1636

   Тогда x1 ≈ (14 + 15.1636) / 12 ≈ 29.1636 / 12 ≈ 2.4303 x2 ≈ (14 − 15.1636) / 12 ≈ −1.1636 / 12 ≈ −0.0970

Ответ: x ≈ −0.0970 или x ≈ 2.4300.