изобразите схематически график и перечислите свойства функции: а) у=0,2х²; б)у=-10х²

Ниже даю подробное решение с поэтапным объяснением и схематическими графиками для обеих функций. Это подходит для общего школьного уровня (начальная–средняя школа).

Общие заметки по типу функций

• Оба выражения — квадратичные: y = a x^2, где a ≠ 0.
• График — парабола с вершиной в начале координат (0,0). Ось симметрии — ось y-координатa x = 0.
• Направление допуска: a > 0 — параболa открывается вверх; a < 0 — вниз.
• Величина |a| влияет на «ширину» параболы: чем больше |a|, тем уже кривая; чем меньше |a|, тем она шире.

1. a) y = 0,2 x^2

Ключевые свойства

• Тип графика: парабола, вершина V = (0, 0).
• Ось симметрии: x = 0.
• Направление: открывается вверх (п because a > 0).
• Диапазон значений: y ≥ 0, то есть диапазон [0, ∞).
• Область определения: все действительные числа ℝ.
• Пересечения с осью y: при x = 0, y = 0, значит точка (0, 0).
• Пересечения с осью x: при y = 0 получаем x^2 = 0 ⇒ x = 0 (двойной корень). То есть единственная точка пересечения с осью x — (0, 0).
• Монотонность: снизу вверх слева от вершины и справа от неё парабола возрастает; то есть:
  • уменьшается на промежутке x < 0, достигает минимума в x = 0;
  • возрастает на промежутке x > 0.
• Подстановка характерных точек:
  • x = 1 → y = 0,2
  • x = 2 → y = 0,8
  • x = 3 → y = 1,8
  • x = 4 → y = 3,2 То есть кривая быстро поднимается по мере роста abs(x).

Схематический чертёж графика (устная схема)

• Вершина в начале координат.
• Ось симметрии — вертикальная ось x = 0.
• График открывается вверх и относительно «полегче» по сравнению с y = x^2 (из-за коэффициента 0,2, который меньше 1).
• Примерные точки: (±1, 0,2); (±2, 0,8); (±3, 1,8); (±4, 3,2).

Пояснение по схеме:

• Можно представить схематически как «широкую» вверхparabola, которая растёт медленно near origin и затем поднимается.

Дополнительное свойство (для продвинутого уровня)

• Фокус и директриса для параболы y = a x^2 можно найти через p = 1/(4a).
  • Здесь a = 0,2 → p = 1/(4·0,2) = 1/0,8 = 1,25.
  • Фокус: (0, p) = (0, 1,25).
  • Директриса: y = −p = −1,25. Эти детали обычно не требуют на базовом уровне, но полезны для полноты картины параболы.

Итог по пункту (а):

• График — парабола, открывается вверх, вершина в (0,0), ось симметрии x = 0, диапазон y ≥ 0, единственная точка пересечения с осями — (0,0), ширина «шире» чем у y = x^2 (из-за малого коэффициента 0,2).

2. b) y = −10 x^2

Ключевые свойства

• Тип графика: парабола, вершина V = (0, 0).
• Ось симметрии: x = 0.
• Направление: открывается вниз (потому что a < 0).
• Диапазон значений: y ≤ 0, то есть диапазон (−∞, 0].
• Область определения: все действительные числа ℝ.
• Пересечения с осью y: при x = 0, y = 0, то же самое — точка (0, 0).
• Пересечения с осью x: как и ранее, y = 0 даёт x = 0 (единственный корень, двойной). То есть пересечение с осью x — только (0, 0).
• Монотонность: парабола убывает на (-∞, 0) и возрастает на (0, ∞) в смысле снижения y при движении влево до вершины? Конкретно:
  • при x < 0 значения y отрицательны и увеличиваются к 0 по мере приближения к нулю;
  • при x > 0 значения y отрицательны и уменьшаются к 0 по мере удаления от нуля. Простыми словами: за вершиной к надположению вниз, на обе стороны кривая идёт вниз, от вершины — становится более отрицательной.
• Примеры точек:
  • x = 1 → y = −10
  • x = −1 → y = −10
  • x = 2 → y = −40
  • x = −2 → y = −40
  • x = 0.5 → y = −10 · 0,25 = −2,5
  • x = 0.2 → y = −10 · 0,04 = −0,4

Схематический чертёж графика (устная схема)

• Вершина в начале координат.
• Ось симметрии — вертикальная ось x = 0.
• График открывается вниз и очень «узкий» (за счёт большого по модулю коэффициента −10).
• Примерные точки: (±1, −10); (±2, −40); (±0,5, −2,5).
• Визуально он резко тянется вниз вокруг оси и быстро уходит вниз по мере роста |x|.

Пояснение по схеме:

• Это узкая парабола, потому что |a| = 10 — довольно большой по модулю коэффициент, поэтому кривая быстро опускается вниз при отклонении от x = 0.

Дополнительное свойство (для продвинутого уровня)

• Фокус и директриса:
  • Здесь a = −10, поэтому p = 1/(4a) = 1/(−40) = −0,025.
  • Фокус: (0, p) = (0, −0,025).
  • Директриса: y = −p = 0,025. Это тоже формальные свойства параболы в канонической форме x^2 = 4 p y (или y = a x^2). В школьной задаче часто их не используют, но полезно знать.

Итог по пункту (б):

• График — парабола, открывается вниз, вершина в (0,0), ось симметрии x = 0, диапазон y ≤ 0, единственная точка пересечения с осями — (0,0), кривая очень узкая из-за большого по модулю коэффициента −10 (скорее резкая кнстрение вниз).

Краткое сравнение двух функций

• Оба графика имеют вершину в начале координат и ось симметрии x = 0.
• a = 0,2: открывается вверх, диапазон y ≥ 0, параболa «широкая» (медленный рост y при росте |x|).
• a = −10: открывается вниз, диапазон y ≤ 0, параболa «узкая» (быстрый спад y при росте |x|).
• Пересечения с осями: обе имеют единственную точку пересечения с осью x и y — (0,0).

Если нужно, могу нарисовать более точное схематическое изображение или привести графики в виде координатной сетки с наборами точек для печати.