22. Постройте график функции у = |х²+6x+5|. Какое наибольшее число об-щих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Задача: построить график y = |x^2 + 6x + 5| и найти наибольшее число точек пересечения с прямой, параллельной оси абсцисс (то есть с горизонтальной прямой y = c).
Преобразование внутри модуля x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4 Тогда y = |(x + 3)^2 - 4|.
Графическое представление График представляет собой абсолютное значение параболы. Внутри модуля точка минимума параболы (x+3)^2 - 4 находится на уровне -4 в точке x = -3; после применения модуля получается вершина графика на высоте 4 в той же точке x = -3. График состоит из двух ветвей вне интервала [-5, -1] (график f(x) = x^2 + 6x + 5) и верхнего «горки» внутри [-5, -1] (y = 4 - (x+3)^2).
Решение по горизонтальной прямой y = c Найдем количество решений у |(x+3)^2 - 4| = c, где c ≥ 0.
Пусть t = (x+3)^2 ≥ 0. Тогда |t - 4| = c.
Из уравнения |t - 4| = c получаем: t = 4 ± c, при условии t ≥ 0.
Каждое допустимое значение t даёт решения для x из (x+3)^2 = t:
- если t > 0, есть два решения x = -3 ± sqrt(t);
- если t = 0, есть одно решение x = -3.
Разберём случаи по c:
- c > 4: t1 = 4 + c > 0 даёт 2 решения; t2 = 4 - c < 0 не даёт решений. Всего 2 пересечения.
- c = 4: t1 = 8 даёт 2 решения; t2 = 0 даёт 1 решение (x = -3). Итого 3 пересечения.
- 0 < c < 4: оба t положительны (t1 = 4 + c > 0, t2 = 4 - c > 0) дают по 2 решения каждое. Итого 4 пересечения.
- c = 0: т = 4 даёт 2 решения (x = -1 и x = -5). Итого 2 пересечения.
- Вывод Максимальное число пересечений графика y = |x^2 + 6x + 5| с горизонтальной прямой y = c равно 4, достигается для 0 < c < 4. Примеры: при c = 2 пересечения в точках x = -3 ± sqrt(6) и x = -3 ± sqrt(2).
Ответ: 4.
