Y=-1/4x²+x-1 постройте график функции и опишите еë свойства

Задача: y = -1/4 x^2 + x - 1. Построить график и описать свойства. 1) Преобразование к каноническому (вершинному) виду - Начальное: y = -1/4 x^2 + x - 1. - Вынесем -1/4 из первых двух слагаемых и дополним квадрат: y = -1/4 [ x^2 - 4x ] - 1 x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 Значит: y = -1/4 [ (x - 2)^2 - 4 ] - 1 = -1/4 (x - 2)^2 + 1 - 1 = -1/4 (x - 2)^2. - Получили каноническую форму: y = -1/4 (x - 2)^2. 2) Основные свойства графика - Вершина parabola: (h, k) = (2, 0). - Ось симметрии: x = 2. - Направление ветвей: вниз (так как a = -1/4 < 0). - Максимум функции: y_max = 0, достигается в вершине (2, 0). Диапазон значений: (-∞, 0]. - Домен: всё вещественное число R. - Пересечение с осью Y: при x = 0, y = -1 → точка (0, -1). - Пересечение с осью X (корни): при y = 0 получаем -1/4 (x - 2)^2 = 0 ⇒ x = 2. Единственная корня (повторный корень) — точка (2, 0). parabola касается оси X в вершине. - Координаты нескольких точек (для построения графика): - x = 0: y = -1 → (0, -1) - x = 1: y = -1/4 → (1, -0.25) - x = 2: y = 0 → (2, 0) - x = 3: y = -1/4 → (3, -0.25) - x = 4: y = -1 → (4, -1) - x = -2: y = -4 → (-2, -4) Эти точки показывают симметрию относительно x = 2: пары (0, -1) и (4, -1), (1, -0.25) и (3, -0.25). 3) Как построить график на практике - Поставьте вершину в точку (2, 0) и нарисуйте ось симметрии x = 2. - Отметьте точки пересечения с осями: (2, 0) на оси X и (0, -1) на оси Y. - По симметрии проложите плавную ветвь вниз, пройдя через указанные точки (например, через (1, -0.25) и (3, -0.25)). - График будет параболой, вогнутой вниз, касающейся оси X в вершине (2, 0). 4) Дополнительные заметки (необязательно, для углубления) - Фокус-покус: для параболы y = a(x - h)^2 + k фокус расположен на оси симметрии на расстоянии p = 1/(4a) от вершины. Здесь a = -1/4, поэтому p = 1/(4a) = 1/(-1) = -1. Следовательно, фокус: (h, k + p) = (2, 0 + (-1)) = (2, -1). Директриса: y = k - p = 0 - (-1) = 1. Эти свойства помогают проверить правильность графика и дают представление о форме параболы. Итого: график y = -1/4 (x - 2)^2 — парабола, открытая вниз, с вершиной в (2, 0), симметрична относительно x = 2, максимумом 0 и единственной точкой касания оси X в вершине. Диапазон значений (-∞, 0], домен всех вещественных чисел.