Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…
Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 246. Найдите периметр прямоугольника.
Задача: прямоугольник размером a × b (a, b ≥ 3), из квадратиков 1×1. Для каждой клетки посчитали число соседей по сторонам; сумма всех таких чисел равна 246. Найти периметр прямоугольника.
Обозначим стороны: пусть прямоугольник имеет размеры a × b (a и b целые, ≥ 3).
Посчитаем сумму S количества соседей по клеткам.
- Коробчатые клетки (4 угла): у каждой по 2 соседа → вклад 4·2 = 8.
- Ребра без углов: по вертикалям на каждом краю по (a−2) клеток, итого 2(a−2); по горизонталям по (b−2) клеток на каждом краю, итого 2(b−2). Всего таких клеток: 2(a−2) + 2(b−2) = 2a + 2b − 8. У каждой по 3 соседа → вклад 3(2a + 2b − 8) = 6a + 6b − 24.
- Внутренние клетки: (a−2)(b−2) клеток, у каждой по 4 соседа → вклад 4(a−2)(b−2) = 4(ab − 2a − 2b + 4) = 4ab − 8a − 8b + 16.
Сумма соседей: S = 8 + (6a + 6b − 24) + (4ab − 8a − 8b + 16) = 4ab − 2a − 2b.
По условию S = 246. Получаем: 4ab − 2a − 2b = 246. Разделим на 2: 2ab − a − b = 123.
Приведём к классической форме SFFT. Умножим на 2 и добавим 1: 4ab − 2a − 2b + 1 = 247 (2a − 1)(2b − 1) = 247.
Разложим 247. 247 = 13 · 19 (и это единственные возможные пары с учётом того, что 2a−1 ≥ 5 и 2b−1 ≥ 5 для a,b ≥ 3).
Следовательно, пары (2a−1, 2b−1) могут быть (13, 19) или (19, 13).
- Если 2a−1 = 13, то a = 7; 2b−1 = 19 → b = 10.
- Если наоборот, a = 10, b = 7.
Периметр P прямоугольника равен P = 2(a + b). В обоих случаях P = 2(7 + 10) = 34.
Ответ: периметр прямоугольника равен 34. (Соответствующие размеры сторон: 7 × 10 или 10 × 7.)
